Номер 18.8, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.8. Решите квадратное уравнение:

1) $z^2 - (2 + i)z + 2i = 0;$

2) $z^2 - (2 - i)z - 2i = 0;$

3) $z^2 - (3 + 2i)z + 6i = 0;$

4) $z^2 + (6 - 2i)z - 6i = 0;$

5) $z^2 - (5 + 2i)z + 5 + 5i = 0;$

6) $z^2 - 2(5 - 2i)z + 12 - 20i = 0.$

1) Решим квадратное уравнение $z^2 - (2 + i)z + 2i = 0$.

Применим стандартную формулу для корней квадратного уравнения $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-(2+i)$, $c=2i$.

Вычислим дискриминант $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac = (-(2 + i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2i) = (2+i)^2 - 8i = (4 + 4i + i^2) - 8i = (4 + 4i - 1) - 8i = 3 - 4i$.

Теперь найдем квадратный корень из дискриминанта. Пусть $\sqrt{3-4i} = x+iy$.

Тогда $(x+iy)^2 = 3-4i$, откуда $x^2-y^2+2xyi = 3-4i$.

Получаем систему уравнений: $x^2 - y^2 = 3$ и $2xy = -4$.

Также из равенства модулей $|x+iy|^2 = |3-4i|$ следует, что $x^2+y^2 = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{25} = 5$.

Решим систему:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 8 \implies x^2=4 \implies x = \pm 2$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = 2 \implies y^2=1 \implies y = \pm 1$.

Из условия $2xy=-4$ следует, что $x$ и $y$ имеют противоположные знаки.

Таким образом, $\sqrt{3-4i} = \pm(2-i)$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2+i \pm (2-i)}{2}$.

$z_1 = \frac{2+i + (2-i)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$z_2 = \frac{2+i - (2-i)}{2} = \frac{2i}{2} = i$.

Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = i$.

2) Решим квадратное уравнение $z^2 - (2 - i)z - 2i = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-(2-i)$, $c=-2i$.

Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-(2-i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2i) = (2-i)^2 + 8i = (4 - 4i + i^2) + 8i = (4 - 4i - 1) + 8i = 3 + 4i$.

Найдем $\sqrt{3+4i}$. Пусть $\sqrt{3+4i} = x+iy$.

Система: $x^2-y^2 = 3$ и $2xy=4$.

Модуль: $x^2+y^2 = \sqrt{3^2+4^2}=5$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $

$2x^2 = 8 \implies x^2=4 \implies x = \pm 2$.

$2y^2 = 2 \implies y^2=1 \implies y = \pm 1$.

Так как $2xy=4$ (положительно), $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Значит, $\sqrt{3+4i} = \pm(2+i)$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-( -(2-i)) \pm (2+i)}{2} = \frac{2-i \pm (2+i)}{2}$.

$z_1 = \frac{2-i + (2+i)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$z_2 = \frac{2-i - (2+i)}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$.

Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = -i$.

3) Решим квадратное уравнение $z^2 - (3 + 2i)z + 6i = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-(3+2i)$, $c=6i$.

Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-(3+2i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6i) = (3+2i)^2 - 24i = (9 + 12i + 4i^2) - 24i = (9+12i-4) - 24i = 5 - 12i$.

Найдем $\sqrt{5-12i}$. Пусть $\sqrt{5-12i} = x+iy$.

Система: $x^2-y^2=5$ и $2xy=-12$.

Модуль: $x^2+y^2 = \sqrt{5^2+(-12)^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $

$2x^2 = 18 \implies x^2=9 \implies x = \pm 3$.

$2y^2 = 8 \implies y^2=4 \implies y = \pm 2$.

Так как $2xy=-12$ (отрицательно), $x$ и $y$ имеют разные знаки. Значит, $\sqrt{5-12i} = \pm(3-2i)$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{3+2i \pm (3-2i)}{2}$.

$z_1 = \frac{3+2i + (3-2i)}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$z_2 = \frac{3+2i - (3-2i)}{2} = \frac{4i}{2} = 2i$.

Ответ: $z_1 = 3$, $z_2 = 2i$.

4) Решим квадратное уравнение $z^2 + (6 - 2i)z - 6i = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=6-2i$, $c=-6i$.

Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (6-2i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6i) = (36 - 24i + 4i^2) + 24i = (36-24i-4) + 24i = 32 - 24i + 24i = 32$.

Дискриминант является действительным числом. $\sqrt{\Delta} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-(6-2i) \pm 4\sqrt{2}}{2} = \frac{-6+2i \pm 4\sqrt{2}}{2} = -3+i \pm 2\sqrt{2}$.

$z_1 = -3+2\sqrt{2}+i$.

$z_2 = -3-2\sqrt{2}+i$.

Ответ: $z_1 = -3+2\sqrt{2}+i$, $z_2 = -3-2\sqrt{2}+i$.

5) Решим квадратное уравнение $z^2 - (5 + 2i)z + 5 + 5i = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-(5+2i)$, $c=5+5i$.

Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-(5+2i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5+5i) = (5+2i)^2 - (20+20i) = (25 + 20i + 4i^2) - 20 - 20i = (25+20i-4) - 20 - 20i = 21+20i - 20 - 20i = 1$.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{5+2i \pm 1}{2}$.

$z_1 = \frac{5+2i+1}{2} = \frac{6+2i}{2} = 3+i$.

$z_2 = \frac{5+2i-1}{2} = \frac{4+2i}{2} = 2+i$.

Ответ: $z_1 = 3+i$, $z_2 = 2+i$.

6) Решим квадратное уравнение $z^2 - 2(5 - 2i)z + 12 - 20i = 0$.

Поскольку коэффициент при $z$ четный ($b = 2k$, где $k = -(5-2i)$), воспользуемся упрощенной формулой для корней: $z_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.

Коэффициенты: $a=1$, $k = -(5-2i)$, $c=12-20i$.

Вычислим подкоренное выражение (дискриминант, деленный на 4):

$D_1 = k^2 - ac = (-(5-2i))^2 - 1 \cdot (12-20i) = (5-2i)^2 - (12-20i) = (25-20i+4i^2) - 12+20i = (21-20i) - 12+20i = 9$.

$\sqrt{D_1} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = (5-2i) \pm 3$.

$z_1 = 5-2i+3 = 8-2i$.

$z_2 = 5-2i-3 = 2-2i$.

Ответ: $z_1 = 8-2i$, $z_2 = 2-2i$.