Номер 18.6, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.6. Разложите выражение на линейные множители:

1) $x^4 + 2x^2 - 8;$

2) $x^4 - 4x^2 - 5;$

3) $x^4 - 4x^2 + 12;$

4) $x^4 - 6x^2 + 8.$

1) $x^4 + 2x^2 - 8$

Данное выражение является биквадратным. Для его разложения на множители введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда выражение примет вид квадратного трехчлена:

$y^2 + 2y - 8$

Найдем корни этого трехчлена, решив уравнение $y^2 + 2y - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-8$. Следовательно, корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители по формуле $a(y - y_1)(y - y_2)$:

$(y - 2)(y - (-4)) = (y - 2)(y + 4)$

Выполним обратную замену, подставив $x^2$ вместо $y$:

$(x^2 - 2)(x^2 + 4)$

Далее разложим каждый из полученных множителей на линейные. Множитель $(x^2 - 2)$ представляет собой разность квадратов:

$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

Множитель $(x^2 + 4)$ является суммой квадратов. Для его разложения на линейные множители необходимо использовать комплексные числа:

$x^2 + 4 = x^2 - (-4) = x^2 - (2i)^2 = (x - 2i)(x + 2i)$

Объединяя все множители, получаем окончательное разложение:

Ответ: $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - 2i)(x + 2i)$.

2) $x^4 - 4x^2 - 5$

Сделаем замену переменной $y = x^2$. Исходное выражение превращается в квадратный трехчлен:

$y^2 - 4y - 5$

Найдем корни уравнения $y^2 - 4y - 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $-5$. Корнями являются $y_1 = 5$ и $y_2 = -1$.

Разложим трехчлен на множители:

$(y - 5)(y - (-1)) = (y - 5)(y + 1)$

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 5)(x^2 + 1)$

Теперь разложим каждый множитель на линейные. $(x^2 - 5)$ — это разность квадратов:

$x^2 - 5 = x^2 - (\sqrt{5})^2 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$

$(x^2 + 1)$ — это сумма квадратов, которая раскладывается с помощью комплексных чисел:

$x^2 + 1 = x^2 - (-1) = x^2 - i^2 = (x - i)(x + i)$

Таким образом, полное разложение на линейные множители имеет вид:

Ответ: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i)(x + i)$.

3) $x^4 - 4x^2 + 12$

Применим замену $y = x^2$, чтобы получить квадратный трехчлен $y^2 - 4y + 12$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 4y + 12 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$

Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{-32}}{2} = \frac{4 \pm i\sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4i\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2i\sqrt{2}$

Корни: $y_1 = 2 + 2i\sqrt{2}$ и $y_2 = 2 - 2i\sqrt{2}$.

Сделав обратную замену, получим: $(x^2 - (2 + 2i\sqrt{2}))(x^2 - (2 - 2i\sqrt{2}))$.

Чтобы разложить это выражение на линейные множители, необходимо найти квадратные корни из комплексных чисел $y_1$ и $y_2$. Обозначим корни исходного уравнения через $k_1, k_2, k_3, k_4$.

Корни уравнения $x^2 = 2 + 2i\sqrt{2}$ равны $k_{1,2} = \pm(\sqrt{1+\sqrt{3}} + i\sqrt{\sqrt{3}-1})$.

Корни уравнения $x^2 = 2 - 2i\sqrt{2}$ равны $k_{3,4} = \pm(\sqrt{1+\sqrt{3}} - i\sqrt{\sqrt{3}-1})$.

Разложение на линейные множители имеет вид $(x-k_1)(x-k_2)(x-k_3)(x-k_4)$.

Ответ: $(x - (\sqrt{1+\sqrt{3}} + i\sqrt{\sqrt{3}-1}))(x + (\sqrt{1+\sqrt{3}} + i\sqrt{\sqrt{3}-1}))(x - (\sqrt{1+\sqrt{3}} - i\sqrt{\sqrt{3}-1}))(x + (\sqrt{1+\sqrt{3}} - i\sqrt{\sqrt{3}-1}))$.

4) $x^4 - 6x^2 + 8$

Введем замену $y = x^2$, получим $y^2 - 6y + 8$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 6y + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а произведение равно $8$. Корнями являются $y_1 = 4$ и $y_2 = 2$.

Разложим трехчлен на множители:

$(y - 4)(y - 2)$

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 4)(x^2 - 2)$

Оба множителя являются разностью квадратов. Разложим их на линейные множители:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

Итоговое разложение:

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$.