Номер 18.13, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.13. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x^2-16} < x-2;$

2) $\sqrt{x^2-x-6} < x+5.$

1) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 16} < x - 2$.

Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе, состоящей из трех условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 16 \ge 0$.

2. Правая часть неравенства должна быть положительной, поскольку значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным: $x - 2 > 0$.

3. При выполнении первых двух условий можно возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства: $x^2 - 16 < (x - 2)^2$.

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $x^2 - 16 \ge 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 4) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.

2. $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$. Решением является промежуток $x \in (2, +\infty)$.

3. $x^2 - 16 < (x - 2)^2 \Rightarrow x^2 - 16 < x^2 - 4x + 4 \Rightarrow 4x < 16 + 4 \Rightarrow 4x < 20 \Rightarrow x < 5$. Решением является промежуток $x \in (-\infty, 5)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Из первого и второго условий ($x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$ и $x > 2$) следует, что $x \in [4, +\infty)$. Добавив третье условие ($x < 5$), получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [4, 5)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - x - 6} < x + 5$.

Это неравенство также равносильно системе из трех условий:

1. Область допустимых значений: $x^2 - x - 6 \ge 0$.

2. Положительность правой части: $x + 5 > 0$.

3. Возведение в квадрат обеих частей: $x^2 - x - 6 < (x + 5)^2$.

Решим каждое неравенство по очереди:

1. $x^2 - x - 6 \ge 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Неравенство можно записать в виде $(x - 3)(x + 2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.

2. $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$. Решением является $x \in (-5, +\infty)$.

3. $x^2 - x - 6 < (x + 5)^2 \Rightarrow x^2 - x - 6 < x^2 + 10x + 25 \Rightarrow -x - 10x < 25 + 6 \Rightarrow -11x < 31 \Rightarrow x > -\frac{31}{11}$. Решением является $x \in (-\frac{31}{11}, +\infty)$.

Найдем пересечение трех полученных множеств решений. Условия $x > -5$ и $x > -\frac{31}{11}$ вместе дают $x > -\frac{31}{11}$, так как $-\frac{31}{11} \approx -2.82$, что больше $-5$. Теперь нужно найти пересечение множества $x \in (-\frac{31}{11}, +\infty)$ с множеством $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.

Учитывая, что $-\frac{31}{11} < -2$, пересечение этих множеств дает объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\frac{31}{11}, -2] \cup [3, +\infty)$.