Номер 18.7, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.7. Найдите корни уравнения:

1) $x^2 - 4i = 0;$

2) $x^2 - 9i = 0;$

3) $x^2 + 7i = 0;$

4) $x^2 + 13i = 0;$

5) $x^4 - 16 = 0;$

6) $z^6 - 1 = 0.$

1)

Перепишем уравнение $x^2 - 4i = 0$ в виде $x^2 = 4i$.

Будем искать корень $x$ в алгебраической форме $x = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа.

Тогда $(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$.

Приравнивая это выражение к $4i$, получаем систему уравнений для действительной и мнимой частей:

$\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $a^2 = b^2$, то есть $a = b$ или $a = -b$.

Из второго уравнения $ab = 2$. Так как произведение $ab$ положительно, $a$ и $b$ должны быть одного знака. Следовательно, подходит только случай $a = b$.

Подставляем $a=b$ во второе уравнение: $a \cdot a = 2$, откуда $a^2 = 2$.

Значит, $a = \sqrt{2}$ или $a = -\sqrt{2}$.

Если $a = \sqrt{2}$, то и $b = \sqrt{2}$, и первый корень $x_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$.

Если $a = -\sqrt{2}$, то и $b = -\sqrt{2}$, и второй корень $x_2 = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

Ответ: $x_{1,2} = \pm(\sqrt{2} + i\sqrt{2})$.

2)

Уравнение $x^2 - 9i = 0$ эквивалентно $x^2 = 9i$.

Пусть $x = a + bi$. Тогда $(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$.

Приравниваем действительные и мнимые части: $a^2 - b^2 + 2abi = 0 + 9i$.

$\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = 9 \end{cases}$

Из $a^2 - b^2 = 0$ следует $a = \pm b$.

Из $2ab = 9$ следует, что $ab = 9/2 > 0$, поэтому $a$ и $b$ одного знака. Значит, $a = b$.

Подставляя $a=b$ в $ab = 9/2$, получаем $a^2 = 9/2$.

Отсюда $a = \pm\sqrt{9/2} = \pm\frac{3}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Если $a = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $b = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, и $x_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

Если $a = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $b = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$, и $x_2 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

Ответ: $x_{1,2} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

3)

Уравнение $x^2 + 7i = 0$ перепишем как $x^2 = -7i$.

Пусть $x = a + bi$. Тогда $(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$.

Приравниваем $a^2 - b^2 + 2abi = 0 - 7i$.

$\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = -7 \end{cases}$

Из первого уравнения $a = \pm b$.

Из второго уравнения $ab = -7/2 < 0$, значит $a$ и $b$ имеют разные знаки. Следовательно, $a = -b$.

Подставляем $a = -b$ во второе уравнение: $a(-a) = -7/2$, откуда $-a^2 = -7/2$, или $a^2 = 7/2$.

Значит $a = \pm\sqrt{7/2} = \pm\frac{\sqrt{14}}{2}$.

Если $a = \frac{\sqrt{14}}{2}$, то $b = -a = -\frac{\sqrt{14}}{2}$, и $x_1 = \frac{\sqrt{14}}{2} - i\frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}(1-i)$.

Если $a = -\frac{\sqrt{14}}{2}$, то $b = -a = \frac{\sqrt{14}}{2}$, и $x_2 = -\frac{\sqrt{14}}{2} + i\frac{\sqrt{14}}{2} = -\frac{\sqrt{14}}{2}(1-i)$.

Ответ: $x_{1,2} = \pm\frac{\sqrt{14}}{2}(1-i)$.

4)

Уравнение $x^2 + 13i = 0$ эквивалентно $x^2 = -13i$.

Пусть $x = a + bi$. Тогда $(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$.

Приравниваем $a^2 - b^2 + 2abi = 0 - 13i$.

$\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = -13 \end{cases}$

Из $a^2 = b^2$ следует $a = \pm b$.

Из $ab = -13/2 < 0$ следует, что $a$ и $b$ разных знаков, поэтому $a = -b$.

Подставляем $a = -b$ в $ab = -13/2$: $a(-a) = -13/2 \implies -a^2 = -13/2 \implies a^2 = 13/2$.

Отсюда $a = \pm\sqrt{13/2} = \pm\frac{\sqrt{26}}{2}$.

Если $a = \frac{\sqrt{26}}{2}$, то $b = -\frac{\sqrt{26}}{2}$, и $x_1 = \frac{\sqrt{26}}{2} - i\frac{\sqrt{26}}{2} = \frac{\sqrt{26}}{2}(1-i)$.

Если $a = -\frac{\sqrt{26}}{2}$, то $b = \frac{\sqrt{26}}{2}$, и $x_2 = -\frac{\sqrt{26}}{2} + i\frac{\sqrt{26}}{2} = -\frac{\sqrt{26}}{2}(1-i)$.

Ответ: $x_{1,2} = \pm\frac{\sqrt{26}}{2}(1-i)$.

5)

Дано уравнение $z^4 - 16 = 0$.

Это уравнение можно переписать как $z^4 = 16$.

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(z^2)^2 - 4^2 = 0$

$(z^2 - 4)(z^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $z^2 - 4 = 0 \implies z^2 = 4 \implies z = \pm\sqrt{4}$. Отсюда получаем два действительных корня: $z_1 = 2$ и $z_2 = -2$.

2. $z^2 + 4 = 0 \implies z^2 = -4 \implies z = \pm\sqrt{-4}$. Так как $i^2 = -1$, то $\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt{4i^2} = 2i$. Отсюда получаем два комплексных корня: $z_3 = 2i$ и $z_4 = -2i$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1=2, z_2=-2, z_3=2i, z_4=-2i$.

6)

Дано уравнение $z^6 - 1 = 0$, или $z^6 = 1$.

Нам нужно найти все шесть корней 6-й степени из единицы.

Представим число $1$ в тригонометрической форме: $1 = 1(\cos(0) + i\sin(0))$.

По формуле Муавра для извлечения корней, корни n-й степени из комплексного числа $w = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ находятся по формуле:

$z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right)\right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

В нашем случае $n=6, r=1, \phi=0$.

$z_k = \sqrt[6]{1}\left(\cos\left(\frac{0+2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{0+2\pi k}{6}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi k}{3}\right)$ для $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Найдем все шесть корней:

При $k=0: z_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$.

При $k=1: z_1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=2: z_2 = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=3: z_3 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.

При $k=4: z_4 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=5: z_5 = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $z_0=1, z_1=\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, z_2=-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, z_3=-1, z_4=-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}, z_5=\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.