Номер 18.3, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.3. Разложите квадратный трехчлен на линейные множители:

1) $x^2 + 2x + 10;$

2) $x^2 - 4x + 5;$

3) $x^2 - 4x + 16;$

4) $2x^2 - 6x + 9.$

1) $x^2 + 2x + 10$

Для того чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями этого уравнения, то разложение трехчлена имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x + 10 = 0$. Для этого вычислим дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Корни будут комплексными. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}i}{2} = \frac{-2 \pm 6i}{2} = -1 \pm 3i$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -1 + 3i$ и $x_2 = -1 - 3i$.

Теперь подставим найденные корни в формулу разложения на множители:

$x^2 + 2x + 10 = 1 \cdot (x - (-1 + 3i))(x - (-1 - 3i)) = (x + 1 - 3i)(x + 1 + 3i)$.

Ответ: $(x + 1 - 3i)(x + 1 + 3i)$.

2) $x^2 - 4x + 5$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Дискриминант отрицательный, поэтому корни комплексные.

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{4}i}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$.

Корни уравнения: $x_1 = 2 + i$ и $x_2 = 2 - i$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ (здесь $a=1$):

$x^2 - 4x + 5 = (x - (2 + i))(x - (2 - i)) = (x - 2 - i)(x - 2 + i)$.

Ответ: $(x - 2 - i)(x - 2 + i)$.

3) $x^2 - 4x + 16$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 16 = 0$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные.

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-48}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 \cdot 3}i}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}i}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}i$.

Корни уравнения: $x_1 = 2 + 2\sqrt{3}i$ и $x_2 = 2 - 2\sqrt{3}i$.

Подставим корни в формулу разложения ($a=1$):

$x^2 - 4x + 16 = (x - (2 + 2\sqrt{3}i))(x - (2 - 2\sqrt{3}i)) = (x - 2 - 2\sqrt{3}i)(x - 2 + 2\sqrt{3}i)$.

Ответ: $(x - 2 - 2\sqrt{3}i)(x - 2 + 2\sqrt{3}i)$.

4) $2x^2 - 6x + 9$

Найдем корни уравнения $2x^2 - 6x + 9 = 0$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 36 - 72 = -36$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные.

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm \sqrt{36}i}{4} = \frac{6 \pm 6i}{4} = \frac{3 \pm 3i}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i$ и $x_2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}i$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a=2$:

$2x^2 - 6x + 9 = 2(x - (\frac{3}{2} + \frac{3}{2}i))(x - (\frac{3}{2} - \frac{3}{2}i)) = 2(x - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}i)(x - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i)$.

Ответ: $2(x - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}i)(x - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i)$.