Номер 17.10, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.10. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \cos 2x, y = 0, x = - \frac{\pi}{3}, x = \frac{\pi}{3}$

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$

В данном случае $f(x) = \cos(2x)$, $a = -\frac{\pi}{3}$, $b = \frac{\pi}{3}$. Таким образом, искомая площадь равна:

$S = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} |\cos(2x)| \,dx$

Для того чтобы раскрыть модуль, определим знаки функции $y = \cos(2x)$ на отрезке $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$. Найдем нули функции на этом отрезке, решив уравнение $\cos(2x) = 0$:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{4}$, что принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$.

При $k=-1$ получаем $x = -\frac{\pi}{4}$, что также принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$.

Эти точки разбивают отрезок интегрирования на три промежутка. Определим знак $\cos(2x)$ на каждом из них:

1. На промежутке $[-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{4}]$, $2x \in [-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}]$, следовательно, $\cos(2x) \le 0$, и $|\cos(2x)| = -\cos(2x)$.

2. На промежутке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, $2x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, следовательно, $\cos(2x) \ge 0$, и $|\cos(2x)| = \cos(2x)$.

3. На промежутке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$, $2x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}]$, следовательно, $\cos(2x) \le 0$, и $|\cos(2x)| = -\cos(2x)$.

Таким образом, интеграл можно представить в виде суммы трех интегралов:

$S = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{-\frac{\pi}{4}} (-\cos(2x)) \,dx + \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \,dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (-\cos(2x)) \,dx$

Заметим, что подынтегральная функция $y = |\cos(2x)|$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля. Это позволяет упростить вычисления, удвоив интеграл по положительной части отрезка:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} |\cos(2x)| \,dx = 2 \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \,dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (-\cos(2x)) \,dx \right)$

Вычислим интегралы. Первообразная для функции $\cos(2x)$ равна $\frac{1}{2}\sin(2x)$.

$S = 2 \left( \left[ \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \left[ \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \right)$

$S = 2 \left( \left( \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) \right) \right)$

$S = 2 \left( \left( \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(0) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) \right) \right)$

$S = 2 \left( \left( \frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 \right) \right)$

$S = 2 \left( \frac{1}{2} - \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \right) \right) = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right) = 2 \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.