Номер 18.2, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.2. Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, одним из корней которого является число:

1) $3i$;

2) $2 - 3i$;

3) $-3 + 2i$;

4) $5 - 7i$.

1) Если квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексный корень $z_1$, то сопряженное ему число $z_2 = \bar{z}_1$ также является корнем этого уравнения. Дан корень $z_1 = 3i$. Тогда второй корень $z_2 = \overline{3i} = -3i$. Искомое уравнение можно составить по его корням, используя теорему Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, где $p = -(z_1 + z_2)$ и $q = z_1 \cdot z_2$. Найдем сумму корней: $z_1 + z_2 = 3i + (-3i) = 0$. Найдем произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (3i)(-3i) = -9i^2 = -9(-1) = 9$. Таким образом, уравнение имеет вид $x^2 - 0 \cdot x + 9 = 0$, или $x^2 + 9 = 0$.

Ответ: $x^2 + 9 = 0$.

2) Дан корень $z_1 = 2 - 3i$. Так как коэффициенты уравнения действительные, второй корень $z_2$ является комплексно-сопряженным к первому: $z_2 = \overline{2 - 3i} = 2 + 3i$. Составим приведенное квадратное уравнение $x^2 - (z_1 + z_2)x + z_1z_2 = 0$. Сумма корней: $z_1 + z_2 = (2 - 3i) + (2 + 3i) = 4$. Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13$. Искомое уравнение: $x^2 - 4x + 13 = 0$.

Ответ: $x^2 - 4x + 13 = 0$.

3) Дан корень $z_1 = -3 + 2i$. Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами второй корень $z_2$ будет комплексно-сопряженным: $z_2 = \overline{-3 + 2i} = -3 - 2i$. Используем формулу $x^2 - (z_1 + z_2)x + z_1z_2 = 0$. Найдем сумму корней: $z_1 + z_2 = (-3 + 2i) + (-3 - 2i) = -6$. Найдем произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (-3 + 2i)(-3 - 2i) = (-3)^2 - (2i)^2 = 9 - 4i^2 = 9 + 4 = 13$. Подставляем найденные значения в уравнение: $x^2 - (-6)x + 13 = 0$. Уравнение имеет вид $x^2 + 6x + 13 = 0$.

Ответ: $x^2 + 6x + 13 = 0$.

4) Дан корень $z_1 = 5 - 7i$. Поскольку коэффициенты искомого уравнения действительны, второй корень $z_2$ должен быть сопряженным к первому: $z_2 = \overline{5 - 7i} = 5 + 7i$. Составим уравнение по формуле $x^2 - (z_1 + z_2)x + z_1z_2 = 0$. Сумма корней: $z_1 + z_2 = (5 - 7i) + (5 + 7i) = 10$. Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (5 - 7i)(5 + 7i) = 5^2 - (7i)^2 = 25 - 49i^2 = 25 + 49 = 74$. Получаем уравнение: $x^2 - 10x + 74 = 0$.

Ответ: $x^2 - 10x + 74 = 0$.