Номер 18.9, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.9. Решите уравнение:

1) $z = \bar{z}^2$;

2) $2z = \bar{z}^2$, где $z = x + yi$.

1)

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда комплексно-сопряженное число равно $\bar{z} = x - yi$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение $z = \bar{z}^2$:

$x + yi = (x - yi)^2$

$x + yi = x^2 - 2xyi + (yi)^2$

$x + yi = x^2 - y^2 - 2xyi$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравниваем их и получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x = x^2 - y^2 \\ y = -2xy \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы: $y + 2xy = 0$, что эквивалентно $y(1 + 2x) = 0$.

Это уравнение выполняется в двух случаях:

Случай 1: $y = 0$.

Подставим $y=0$ в первое уравнение системы:

$x = x^2 - 0^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$.

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Это дает нам два решения для $z$:

При $x=0, y=0 \implies z_1 = 0 + 0i = 0$.

При $x=1, y=0 \implies z_2 = 1 + 0i = 1$.

Случай 2: $1 + 2x = 0$.

Отсюда $2x = -1 \implies x = -1/2$.

Подставим $x = -1/2$ в первое уравнение системы:

$-1/2 = (-1/2)^2 - y^2$

$-1/2 = 1/4 - y^2$

$y^2 = 1/4 + 1/2 = 3/4$.

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_3 = \sqrt{3}/2$ и $y_4 = -\sqrt{3}/2$.

Это дает нам еще два решения для $z$:

$z_3 = -1/2 + i\sqrt{3}/2$.

$z_4 = -1/2 - i\sqrt{3}/2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 0$; $z_2 = 1$; $z_3 = -1/2 + i\sqrt{3}/2$; $z_4 = -1/2 - i\sqrt{3}/2$.

2)

Представим комплексное число $z$ в виде $z = x + yi$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z} = x - yi$.

Подставим эти выражения в уравнение $2z = \bar{z}^2$:

$2(x + yi) = (x - yi)^2$

$2x + 2yi = x^2 - 2xyi + (yi)^2$

$2x + 2yi = x^2 - y^2 - 2xyi$

Приравняем действительные и мнимые части уравнения, чтобы получить систему:

$\begin{cases} 2x = x^2 - y^2 \\ 2y = -2xy \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы: $2y = -2xy \implies 2y + 2xy = 0 \implies 2y(1 + x) = 0$.

Это уравнение дает два возможных случая:

Случай 1: $y = 0$.

Подставим $y=0$ в первое уравнение системы:

$2x = x^2 - 0^2 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$.

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 2$.

Получаем два решения для $z$:

При $x=0, y=0 \implies z_1 = 0$.

При $x=2, y=0 \implies z_2 = 2$.

Случай 2: $1 + x = 0$.

Отсюда $x = -1$.

Подставим $x = -1$ в первое уравнение системы:

$2(-1) = (-1)^2 - y^2$

$-2 = 1 - y^2$

$y^2 = 1 - (-2) = 3$.

Отсюда $y = \pm\sqrt{3}$.

Получаем еще два решения для $z$:

$z_3 = -1 + i\sqrt{3}$.

$z_4 = -1 - i\sqrt{3}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 0$; $z_2 = 2$; $z_3 = -1 + i\sqrt{3}$; $z_4 = -1 - i\sqrt{3}$.