Номер 1, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Упростите выражение $(3 + i)(3 - i) - 2(3 - 2i)$ и найдите модуль полученного числа:

A) $\sqrt{74}$; B) $2\sqrt{2}$; C) $4\sqrt{2}$; D) $\sqrt{58}$; E) $\sqrt{42}$.

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала упростить выражение, а затем найти модуль полученного комплексного числа.

Шаг 1: Упрощение выражения.

Исходное выражение: $(3 + i)(3 - i) - 2(3 - 2i)$.

Рассмотрим первую часть $(3 + i)(3 - i)$. Это произведение комплексно-сопряженных чисел, которое можно вычислить по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(3 + i)(3 - i) = 3^2 - i^2$.

По определению мнимой единицы, $i^2 = -1$. Подставим это значение в выражение:

$9 - (-1) = 9 + 1 = 10$.

Теперь рассмотрим вторую часть выражения, $-2(3 - 2i)$. Раскроем скобки, умножив $-2$ на каждый член в скобках:

$-2(3 - 2i) = (-2) \cdot 3 + (-2) \cdot (-2i) = -6 + 4i$.

Теперь объединим (сложим) результаты обеих частей:

$10 + (-6 + 4i) = 10 - 6 + 4i = 4 + 4i$.

Итак, в результате упрощения мы получили комплексное число $z = 4 + 4i$.

Шаг 2: Нахождение модуля полученного числа.

Модуль комплексного числа вида $z = a + bi$ (где $a$ – действительная часть, $b$ – мнимая часть) вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Для нашего числа $z = 4 + 4i$ имеем $a = 4$ и $b = 4$.

Подставляем эти значения в формулу модуля:

$|4 + 4i| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Упростим полученное значение корня:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Следовательно, модуль полученного комплексного числа равен $4\sqrt{2}$. Этот результат соответствует варианту ответа C.

Ответ: C) $4\sqrt{2}$.