Номер 6, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6. На комплексной плоскости, для которых $|z - 3 - 2i| < 2$, является:

A) множество точек круга радиуса 3 и центром в точке M(3; 2);

B) множество точек круга радиуса 2 и центром в точке M(0; 3);

C) множество точек круга радиуса 2 и центром в точке M(0; 0);

D) множество точек круга радиуса 2 и центром в точке M(3; 2);

E) множество точек круга радиуса 1 и центром в точке M(2; 3).

Данное неравенство $|z - 3 - 2i| < 2$ описывает множество точек на комплексной плоскости.

В общем виде, неравенство $|z - z_0| < R$ задает открытый круг (то есть все точки внутри окружности, не включая саму окружность). В этой формуле:

• $z$ — комплексное число, соответствующее любой точке внутри круга.
• $z_0$ — комплексное число, соответствующее центру круга.
• $R$ — положительное действительное число, являющееся радиусом круга.

Выражение $|z - z_0|$ означает расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z$ и $z_0$.

Преобразуем исходное неравенство к стандартному виду, вынеся знак минуса за скобки:

$|z - (3 + 2i)| < 2$

Теперь мы можем легко определить параметры круга, сравнивая полученное выражение с общей формулой $|z - z_0| < R$:

• Центр круга $z_0$ — это комплексное число $3 + 2i$. На комплексной плоскости (которая аналогична декартовой системе координат) этому числу соответствует точка M с координатами $(3, 2)$.
• Радиус круга $R$ равен $2$.

Следовательно, неравенство описывает множество точек открытого круга с радиусом 2 и центром в точке M(3; 2).

Для проверки можно использовать алгебраический подход. Представим комплексное число $z$ в виде $z = x + iy$, где $x$ — действительная часть, а $y$ — мнимая.

$|(x + iy) - 3 - 2i| < 2$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$|(x - 3) + i(y - 2)| < 2$

Модуль комплексного числа $a + bi$ равен $\sqrt{a^2 + b^2}$. Применим это:

$\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2} < 2$

Возведя обе части в квадрат, получим:

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 < 2^2$

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 < 4$

Это неравенство, описывающее все точки внутри окружности с центром в точке $(3, 2)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Сравнив этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту D.

Ответ: D) множество точек круга радиуса 2 и центром в точке M(3; 2);