Номер 13, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13. Используя график функции $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$, найдите значение выражения $M = 2f(-4) + 5f(0) + 2f(-1) + 2f(2)$ и множество значений функции, если переменная $x \in [-2; 2]$:

A) $M = 3; [-4; 4];$

B) $M = 3; [-4; 3];$

C) $M = 3; [-5; 3];$

D) $M = 4; [-5; 4];$

E) $M = 3; [-5; 4].$

Значение выражения M

Для решения задачи определим по графику значения функции в требуемых точках. Из графика параболы $f(x)$ находим следующие значения:

При $x = -4$, график проходит через точку $(-4, -5)$, следовательно $f(-4) = -5$.

При $x = 0$, график пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$, следовательно $f(0) = 3$.

При $x = -1$, функция достигает своего максимального значения в вершине параболы, точка $(-1, 4)$, следовательно $f(-1) = 4$.

При $x = 2$, график проходит через точку $(2, -5)$, следовательно $f(2) = -5$.

Теперь подставим найденные значения в выражение для $M$:

$M = 2f(-4) + 5f(0) + 2f(-1) + 2f(2)$

$M = 2 \cdot (-5) + 5 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-5)$

$M = -10 + 15 + 8 - 10$

$M = 5 + 8 - 10 = 3$

Ответ: $M = 3$.

Множество значений функции на отрезке $x \in [-2; 2]$

Чтобы найти множество значений функции на отрезке $[-2; 2]$, необходимо определить ее наибольшее и наименьшее значения на этом интервале.

График функции — это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке с координатами $(-1, 4)$. Так как абсцисса вершины $x_v = -1$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$, то наибольшее значение функции на данном отрезке будет достигаться в вершине.

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(-1) = 4$.

Наименьшее значение функции на отрезке ищем на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = -2$ и $x = 2$ по графику:

$f(-2) = 3$

$f(2) = -5$

Сравнивая значения на концах отрезка, находим наименьшее: $f_{наим} = \min(f(-2), f(2)) = \min(3, -5) = -5$.

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ на отрезке $[-2; 2]$ — это промежуток от ее наименьшего значения на этом отрезке до наибольшего.

Ответ: $[-5; 4]$.