Номер 19.1, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.1. Постройте графики функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ на одной координатной плоскости.

19.1. Для построения графиков функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ на одной координатной плоскости, необходимо проанализировать каждую функцию, найти координаты нескольких ключевых точек, а затем соединить эти точки плавными линиями.

1. Анализ и построение графика функции $y = 3^x$.

Это показательная функция с основанием $a = 3$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Основные свойства:

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.

- График проходит через точку $(0; 1)$, поскольку $3^0 = 1$.

- Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Составим таблицу значений для построения:

при $x = -2$, $y = 3^{-2} = \frac{1}{9}$;

при $x = -1$, $y = 3^{-1} = \frac{1}{3}$;

при $x = 0$, $y = 3^0 = 1$;

при $x = 1$, $y = 3^1 = 3$;

при $x = 2$, $y = 3^2 = 9$.

2. Анализ и построение графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения.

Эту функцию можно также записать как $y = (3^{-1})^x = 3^{-x}$. Это означает, что её график симметричен графику функции $y=3^x$ относительно оси ординат ($Oy$).

Основные свойства:

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.

- График также проходит через точку $(0; 1)$, поскольку $(\frac{1}{3})^0 = 1$.

- Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.

Составим таблицу значений для построения:

при $x = -2$, $y = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$;

при $x = -1$, $y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$;

при $x = 0$, $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$;

при $x = 1$, $y = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$;

при $x = 2$, $y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

3. Построение на одной координатной плоскости.

Отмечаем вычисленные точки для обеих функций на одной системе координат и соединяем их плавными кривыми.

- График $y = 3^x$ проходит через точки $(-2; \frac{1}{9})$, $(-1; \frac{1}{3})$, $(0; 1)$, $(1; 3)$, $(2; 9)$. Это плавно возрастающая кривая.

- График $y = (\frac{1}{3})^x$ проходит через точки $(-2; 9)$, $(-1; 3)$, $(0; 1)$, $(1; \frac{1}{3})$, $(2; \frac{1}{9})$. Это плавно убывающая кривая.

Оба графика не пересекают ось $Ox$ и расположены выше неё. Они пересекаются друг с другом в точке $(0; 1)$ и симметричны относительно оси $Oy$.

Ответ: Графики функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ построены. График $y=3^x$ является возрастающей кривой, а график $y=(\frac{1}{3})^x$ — убывающей. Обе кривые проходят через точку $(0,1)$ и симметричны друг другу относительно оси ординат $Oy$.