Номер 10, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10. Корни уравнения $x^2 + 11i = 0$ равны:

A) $\pm(\sqrt{11} + i)$;

B) $11 \pm 2i$;

C) $\pm\left(\sqrt{\frac{11}{2}} - \sqrt{\frac{11}{2}}i\right)$;

D) $\pm 2\left(\sqrt{\frac{11}{2}} + \sqrt{\frac{11}{2}}i\right)$;

E) $\pm\left(\sqrt{\frac{11}{2}} + \sqrt{\frac{11}{2}}i\right)$.

Дано уравнение $x^2 + 11i = 0$. Чтобы найти его корни, необходимо выразить $x$.

Перенесем $11i$ в правую часть уравнения: $x^2 = -11i$.

Теперь необходимо извлечь квадратный корень из комплексного числа $-11i$. Представим корень $x$ в алгебраической форме $x = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа.

Возведем $x$ в квадрат: $x^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = (a^2 - b^2) + (2ab)i$.

Приравниваем действительную и мнимую части выражения к $0 - 11i$: $a^2 - b^2 = 0$

$2ab = -11$

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = -11 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $a^2 = b^2$, то есть $a = b$ или $a = -b$. Поскольку произведение $2ab = -11$ отрицательно, числа $a$ и $b$ должны иметь разные знаки. Следовательно, мы выбираем случай $a = -b$.

Подставим $a = -b$ во второе уравнение системы: $2(-b)b = -11$

$-2b^2 = -11$

$b^2 = \frac{11}{2}$

Отсюда $b = \pm\sqrt{\frac{11}{2}}$.

Найдем соответствующие значения $a$ и корни $x$:

1. Если $b = \sqrt{\frac{11}{2}}$, то $a = -\sqrt{\frac{11}{2}}$. Корень: $x_1 = -\sqrt{\frac{11}{2}} + i\sqrt{\frac{11}{2}}$.

2. Если $b = -\sqrt{\frac{11}{2}}$, то $a = \sqrt{\frac{11}{2}}$. Корень: $x_2 = \sqrt{\frac{11}{2}} - i\sqrt{\frac{11}{2}}$.

Эти два корня можно записать в виде одного выражения: $x = \pm \left(\sqrt{\frac{11}{2}} - i\sqrt{\frac{11}{2}}\right)$.

Данное выражение соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $\pm\left(\sqrt{\frac{11}{2}} - \sqrt{\frac{11}{2}}i\right)$.