Страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8. Область внутренности круга, изображенного на рисунке, задается неравенством:

A) $ |z + 2i| < 1; $

B) $ |z - 2i| < 1; $

C) $ |z - i| < 2; $

D) $ |z + i| < 2; $

E) $ |2z - 2i| < 1. $

Область внутренности круга (открытый диск) на комплексной плоскости задается неравенством вида $|z - z_0| < r$, где $z$ — произвольная точка внутри круга, $z_0$ — комплексное число, соответствующее центру круга, а $r$ — его радиус.

Для решения задачи необходимо определить центр $z_0$ и радиус $r$ круга, изображенного на рисунке.

1. Определение центра круга ($z_0$). Центр круга расположен на мнимой оси (оси $y$) в точке, где $y=2$. Действительная часть (координата по оси $x$) равна $0$. Таким образом, центр круга соответствует комплексному числу $z_0 = 0 + 2i = 2i$.
2. Определение радиуса круга ($r$). Радиус — это расстояние от центра до любой точки на окружности. Из рисунка видно, что окружность проходит через точки $(0, 1)$ и $(0, 3)$ на мнимой оси. Расстояние от центра $(0, 2)$ до точки $(0, 3)$ равно $3 - 2 = 1$. Следовательно, радиус круга $r = 1$.

Подставив найденные значения $z_0 = 2i$ и $r = 1$ в общую формулу, получаем неравенство, описывающее заданную область:

$|z - 2i| < 1$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

A) $|z + 2i| < 1$

Это неравенство можно переписать в виде $|z - (-2i)| < 1$. Оно задает внутренность круга с центром в точке $z_0 = -2i$ (координаты $(0, -2)$) и радиусом $r=1$. Это не соответствует рисунку.

B) $|z - 2i| < 1$

Это неравенство задает внутренность круга с центром в точке $z_0 = 2i$ (координаты $(0, 2)$) и радиусом $r=1$. Это в точности совпадает с кругом на рисунке.

C) $|z - i| < 2$

Это неравенство задает внутренность круга с центром в точке $z_0 = i$ (координаты $(0, 1)$) и радиусом $r=2$. Это не соответствует рисунку.

D) $|z + i| < 2$

Это неравенство можно переписать как $|z - (-i)| < 2$. Оно задает внутренность круга с центром в точке $z_0 = -i$ (координаты $(0, -1)$) и радиусом $r=2$. Это не соответствует рисунку.

E) $|2z - 2i| < 1$

Преобразуем это неравенство: вынесем $2$ за знак модуля: $|2(z - i)| < 1$, что равносильно $|2| \cdot |z - i| < 1$, или $2|z - i| < 1$. Отсюда получаем $|z - i| < 0.5$. Это неравенство задает внутренность круга с центром в точке $z_0 = i$ (координаты $(0, 1)$) и радиусом $r=0.5$. Это не соответствует рисунку.

Таким образом, единственно верным является вариант B.

Ответ: B

9. Корни уравнения $x^2 - 5i = 0$ равны:

A) $\pm (\sqrt{5} + i);

B) $5 \pm 2i;

C) $\pm \left(\sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{5}{2}}i\right);

D) $\pm 2\left(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i\right);

E) $\pm \left(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i\right).$

Для решения уравнения $x^2 - 5i = 0$ необходимо найти квадратные корни из комплексного числа $5i$. Перепишем уравнение в виде $x^2 = 5i$.

Пусть корень $x$ имеет алгебраическую форму $x = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа. Тогда его квадрат равен:

$x^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2abi$

Приравнивая это выражение к $5i$ (или $0 + 5i$), мы можем составить систему уравнений, приравняв действительные и мнимые части:

$\begin{cases}a^2 - b^2 = 0 \\2ab = 5\end{cases}$

Из первого уравнения $a^2 = b^2$ следует, что $a = b$ или $a = -b$.

Из второго уравнения $ab = 5/2$. Поскольку произведение $ab$ является положительным числом, $a$ и $b$ должны иметь одинаковые знаки. Это означает, что верен только случай $a = b$.

Подставим $a = b$ во второе уравнение системы:

$2a \cdot a = 5 \implies 2a^2 = 5 \implies a^2 = \frac{5}{2}$

Отсюда находим два возможных значения для $a$: $a = \sqrt{\frac{5}{2}}$ и $a = -\sqrt{\frac{5}{2}}$.

Поскольку $b = a$, мы получаем два набора значений для $(a, b)$:

1. $a_1 = \sqrt{\frac{5}{2}}$, $b_1 = \sqrt{\frac{5}{2}}$

2. $a_2 = -\sqrt{\frac{5}{2}}$, $b_2 = -\sqrt{\frac{5}{2}}$

Это дает нам два корня для исходного уравнения:

$x_1 = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i$

$x_2 = -\sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{5}{2}}i = -(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i)$

Оба корня можно объединить в одну запись: $x = \pm(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i)$.

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту E.

Ответ: E) $\pm(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i)$

10. Корни уравнения $x^2 + 11i = 0$ равны:

A) $\pm(\sqrt{11} + i)$;

B) $11 \pm 2i$;

C) $\pm\left(\sqrt{\frac{11}{2}} - \sqrt{\frac{11}{2}}i\right)$;

D) $\pm 2\left(\sqrt{\frac{11}{2}} + \sqrt{\frac{11}{2}}i\right)$;

E) $\pm\left(\sqrt{\frac{11}{2}} + \sqrt{\frac{11}{2}}i\right)$.

Дано уравнение $x^2 + 11i = 0$. Чтобы найти его корни, необходимо выразить $x$.

Перенесем $11i$ в правую часть уравнения: $x^2 = -11i$.

Теперь необходимо извлечь квадратный корень из комплексного числа $-11i$. Представим корень $x$ в алгебраической форме $x = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа.

Возведем $x$ в квадрат: $x^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = (a^2 - b^2) + (2ab)i$.

Приравниваем действительную и мнимую части выражения к $0 - 11i$: $a^2 - b^2 = 0$

$2ab = -11$

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = -11 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $a^2 = b^2$, то есть $a = b$ или $a = -b$. Поскольку произведение $2ab = -11$ отрицательно, числа $a$ и $b$ должны иметь разные знаки. Следовательно, мы выбираем случай $a = -b$.

Подставим $a = -b$ во второе уравнение системы: $2(-b)b = -11$

$-2b^2 = -11$

$b^2 = \frac{11}{2}$

Отсюда $b = \pm\sqrt{\frac{11}{2}}$.

Найдем соответствующие значения $a$ и корни $x$:

1. Если $b = \sqrt{\frac{11}{2}}$, то $a = -\sqrt{\frac{11}{2}}$. Корень: $x_1 = -\sqrt{\frac{11}{2}} + i\sqrt{\frac{11}{2}}$.

2. Если $b = -\sqrt{\frac{11}{2}}$, то $a = \sqrt{\frac{11}{2}}$. Корень: $x_2 = \sqrt{\frac{11}{2}} - i\sqrt{\frac{11}{2}}$.

Эти два корня можно записать в виде одного выражения: $x = \pm \left(\sqrt{\frac{11}{2}} - i\sqrt{\frac{11}{2}}\right)$.

Данное выражение соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $\pm\left(\sqrt{\frac{11}{2}} - \sqrt{\frac{11}{2}}i\right)$.

11. Вкладчик положил в банк на депозит 100 тыс. тенге под $8 \%$ годовых. Какая сумма будет находиться на депозите через три года:

A) 124 400,2 тг;

B) 124 260 тг;

C) 125 971,2 тг;

D) 125 520,2 тг;

E) 126 122,2 тг?

Для решения этой задачи необходимо рассчитать итоговую сумму вклада с учетом ежегодного начисления сложных процентов. Сложные проценты означают, что каждый год проценты начисляются не только на первоначальную сумму вклада, но и на все ранее начисленные проценты.

Используется формула сложных процентов:

$S = P \cdot (1 + r)^n$

где:

$S$ — итоговая сумма на счете,

$P$ — первоначальная сумма вклада (основной капитал),

$r$ — годовая процентная ставка (в долях от единицы),

$n$ — количество периодов начисления (в данном случае лет).

В условиях задачи дано:

$P = 100 \ 000$ тенге

$r = 8\% = 0,08$

$n = 3$ года

Подставим эти значения в формулу:

$S = 100 \ 000 \cdot (1 + 0,08)^3$

$S = 100 \ 000 \cdot (1,08)^3$

Теперь выполним вычисления:

1. Возводим 1,08 в третью степень:

$(1,08)^3 = 1,08 \times 1,08 \times 1,08 = 1,1664 \times 1,08 = 1,259712$

2. Умножаем результат на первоначальную сумму вклада:

$S = 100 \ 000 \times 1,259712 = 125 \ 971,2$ тенге.

Также можно рассчитать сумму последовательно по годам:

- Сумма в конце 1-го года: $100 \ 000 \times 1,08 = 108 \ 000$ тг.

- Сумма в конце 2-го года: $108 \ 000 \times 1,08 = 116 \ 640$ тг.

- Сумма в конце 3-го года: $116 \ 640 \times 1,08 = 125 \ 971,2$ тг.

Оба способа расчета дают одинаковый результат. Полученная сумма 125 971,2 тенге соответствует варианту ответа C.

Ответ: C) 125 971,2 тг.

12. Ниже приведены утверждения пятерых подружек. Если Алия сказала правду, то кто из подружек наверняка сказала правду:

Алия: "Если мячик находится в гараже, значит он обязательно в корзине" ($P \rightarrow Q$);

Асем: "Мячик не находится в гараже" ($\neg P$);

Анара: "Если мячик находится в гараже, то он не в корзине" ($P \rightarrow \neg Q$);

Назым: "Если мячик не находится в гараже, то он в корзине" ($\neg P \rightarrow Q$);

Салия: "Если мячик не находится в корзине, то он не в гараже" ($\neg Q \rightarrow \neg P$):

A) Асем;

B) Анара;

C) Назым;

D) Галия;

E) все подруги сказали неправду.

Для решения этой логической задачи мы проанализируем каждое утверждение, используя основные принципы математической логики. Основное условие — утверждение Алии истинно.

Давайте введем переменные для базовых утверждений:

• $G$: «Мячик находится в гараже»
• $K$: «Мячик находится в корзине»

Теперь представим высказывания подруг в виде логических формул:

• Алия: «Если мячик находится в гараже, значит он обязательно в корзине». Формула: $G \rightarrow K$.
• Асем: «Мячик не находится в гараже». Формула: $\neg G$.
• Анара: «Если мячик находится в гараже, то он не в корзине». Формула: $G \rightarrow \neg K$.
• Назым: «Если мячик не находится в гараже, то он в корзине». Формула: $\neg G \rightarrow K$.
• Салия: «Если мячик не находится в корзине, то он не в гараже». Формула: $\neg K \rightarrow \neg G$.

По условию задачи, утверждение Алии истинно: $G \rightarrow K$ является истиной. Логическая импликация (выражение вида «если..., то...») ложна только в одном случае: когда посылка (первая часть) истинна, а следствие (вторая часть) — ложно. Таким образом, истинность утверждения Алии означает, что ситуация, когда мячик находится в гараже ($G$ - истина) и при этом не находится в корзине ($\neg K$ - истина), невозможна.

Теперь проверим, чье утверждение будет истинным при условии, что утверждение Алии истинно.

Асем: $\neg G$

Утверждение Асем не обязательно истинно. Например, если мячик находится и в гараже, и в корзине ( $G$ и $K$ истинны), то утверждение Алии ($G \rightarrow K$) будет истинным, но утверждение Асем ($\neg G$) будет ложным. Значит, Асем могла сказать неправду.

Анара: $G \rightarrow \neg K$

Утверждение Анары не обязательно истинно. В том же примере, когда мячик и в гараже, и в корзине ($G$ и $K$ истинны), утверждение Алии истинно. Однако утверждение Анары ($G \rightarrow \neg K$) будет ложным, так как из истинной посылки ($G$) следует ложное следствие ($\neg K$). Значит, Анара могла сказать неправду.

Назым: $\neg G \rightarrow K$

Утверждение Назым не обязательно истинно. Рассмотрим случай, когда мячик не находится ни в гараже, ни в корзине ($\neg G$ и $\neg K$ истинны). В этом случае утверждение Алии ($G \rightarrow K$) истинно (так как посылка $G$ ложна). Но утверждение Назым ($\neg G \rightarrow K$) будет ложным, так как из истинной посылки ($\neg G$) следует ложное следствие ($K$). Значит, Назым могла сказать неправду.

Салия: $\neg K \rightarrow \neg G$

Утверждение Салии («Если мячик не в корзине, то он не в гараже») является контрапозицией утверждения Алии («Если мячик в гараже, то он в корзине»). В логике импликация $P \rightarrow Q$ и ее контрапозиция $\neg Q \rightarrow \neg P$ являются логически эквивалентными. Это значит, что они всегда имеют одинаковое значение истинности. Поскольку нам дано, что утверждение Алии ($G \rightarrow K$) истинно, то утверждение Салии ($\neg K \rightarrow \neg G$) также наверняка будет истинным.

Таким образом, единственная подруга, которая наверняка сказала правду, — это Салия. В вариантах ответа имя "Салия" отсутствует, но есть "Галия". Скорее всего, это опечатка в задании, и имелась в виду Салия.

Ответ: D) Галия;