Страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.13. Сравните $a^x$ при различных значениях $x$ с 1, если:

1) $a > 1$;

2) $0 < a < 1$.

1) a > 1;

Если основание степени $a$ больше единицы ($a > 1$), то показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции. Чтобы сравнить $a^x$ с 1, мы воспользуемся тем, что любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то есть $a^0 = 1$. Таким образом, задача сводится к сравнению показателя степени $x$ с нулем.

Когда показатель степени $x$ положителен ($x > 0$), то в силу возрастания функции имеем $a^x > a^0$, что означает $a^x > 1$.

Когда показатель степени $x$ отрицателен ($x < 0$), то, аналогично, из-за возрастания функции имеем $a^x < a^0$, что означает $a^x < 1$.

Когда показатель степени $x$ равен нулю ($x = 0$), получаем $a^x = a^0 = 1$.

Ответ: если $a > 1$, то при $x > 0$ имеем $a^x > 1$, при $x < 0$ имеем $a^x < 1$, а при $x = 0$ имеем $a^x = 1$.

2) 0 < a < 1.

Если основание степени $a$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), то показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции. Сравнение $a^x$ с 1 мы снова проведем через сравнение показателя $x$ с 0, используя свойство $a^0 = 1$.

Когда показатель степени $x$ положителен ($x > 0$), то в силу убывания функции имеем $a^x < a^0$, что означает $a^x < 1$.

Когда показатель степени $x$ отрицателен ($x < 0$), то, наоборот, из-за убывания функции имеем $a^x > a^0$, что означает $a^x > 1$.

Когда показатель степени $x$ равен нулю ($x = 0$), значение функции равно $a^x = a^0 = 1$.

Ответ: если $0 < a < 1$, то при $x > 0$ имеем $a^x < 1$, при $x < 0$ имеем $a^x > 1$, а при $x = 0$ имеем $a^x = 1$.

19.14. Каким образом можно построить график функции $y = \left(\frac{1}{a}\right)^x$ используя график функции $y = a^x$?

Чтобы построить график функции $y = (\frac{1}{a})^x$, используя график функции $y = a^x$, необходимо выполнить следующие преобразования:

1. Рассмотрим заданную функцию $y = (\frac{1}{a})^x$. Используя свойство степеней, согласно которому $\frac{1}{a} = a^{-1}$, мы можем переписать функцию в следующем виде:

$y = (a^{-1})^x$

2. Далее, по свойству возведения степени в степень $((b^m)^n = b^{m \cdot n})$, мы получаем:

$y = a^{-x}$

3. Теперь сравним полученную функцию $y = a^{-x}$ с исходной функцией $f(x) = a^x$. Мы видим, что новая функция представляет собой $f(-x)$, то есть $y = f(-x) = a^{-x}$.

4. Преобразование графика функции $f(x)$ в $f(-x)$ является симметричным отражением (симметрией) относительно оси ординат (оси Oy).

Таким образом, для построения графика функции $y = (\frac{1}{a})^x$, необходимо взять имеющийся график функции $y = a^x$ и симметрично отразить его относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{a})^x$ можно построить, симметрично отразив график функции $y = a^x$ относительно оси ординат (оси Oy).

19.15. Используя свойства показательной функции определите: верны ли следующие утверждения и обоснуйте свой ответ:

1) неравенства $a^x > a^3$ и $x > 3$ равносильны;

2) из неравенства $7^{x^2} > 7^x$ следует равносильное неравенство $x^2 < x$;

3) неравенства $(\frac{1}{9})^x > (\frac{1}{3})^{x-1}$ и $2x < x - 1$ равносильны.

1) Утверждение, что неравенства $a^x > a^3$ и $x > 3$ равносильны, не является верным в общем случае. Равносильность этих неравенств зависит от значения основания $a$.

Свойство показательной функции $y=a^x$ гласит:

• Если основание $a > 1$, то функция является строго возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, неравенство $a^x > a^3$ равносильно неравенству $x > 3$.

• Если основание $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, неравенство $a^x > a^3$ равносильно неравенству $x < 3$. В этом случае исходные неравенства не равносильны.

Поскольку утверждение неверно для случая $0 < a < 1$, оно неверно в общем виде. Например, если взять $a=\frac{1}{2}$, то неравенство $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^3$ будет равносильно $x < 3$, что противоречит неравенству $x > 3$.

Ответ: Утверждение неверно.

2) Рассмотрим утверждение, что из неравенства $7^{x^2} > 7^x$ следует равносильное неравенство $x^2 < x$.

В показательном неравенстве $7^{x^2} > 7^x$ основание $a=7$.

Так как основание $a = 7 > 1$, показательная функция $y=7^u$ является строго возрастающей. Это означает, что при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется. Таким образом, неравенство $7^{x^2} > 7^x$ равносильно неравенству $x^2 > x$.

Утверждение же гласит, что исходное неравенство равносильно $x^2 < x$. Неравенства $x^2 > x$ и $x^2 < x$ имеют разные множества решений, а значит, не являются равносильными. Например, при $x=3$ неравенство $x^2 > x$ верно ($9>3$), а неравенство $x^2 < x$ неверно ($9<3$).

Ответ: Утверждение неверно.

3) Рассмотрим утверждение, что неравенства $(\frac{1}{9})^x > (\frac{1}{3})^{x-1}$ и $2x < x - 1$ равносильны.

Для решения первого неравенства приведем обе его части к одному основанию. Мы знаем, что $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$.

Подставим это в неравенство:

$((\frac{1}{3})^2)^x > (\frac{1}{3})^{x-1}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$(\frac{1}{3})^{2x} > (\frac{1}{3})^{x-1}$

Основание степени в этом неравенстве $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{3})^u$ является строго убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства должен быть изменен на противоположный.

Следовательно, неравенство $(\frac{1}{3})^{2x} > (\frac{1}{3})^{x-1}$ равносильно неравенству $2x < x-1$.

Таким образом, мы показали, что первое неравенство в результате преобразований, основанных на свойствах показательной функции, превращается во второе. Это означает, что они имеют одинаковые множества решений, то есть являются равносильными.

Ответ: Утверждение верно.

19.16. Можно ли среди всех значений функции $y = 3^{|x|}$ указать:

1) наибольшее значение;

2) наименьшее значение?

Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, проанализируем функцию $y = 3^{|x|}$.

Эта функция является композицией двух функций: модуля $t(x) = |x|$ и показательной функции $f(t) = 3^t$.

1. Сначала рассмотрим область значений аргумента показательной функции, то есть выражения $|x|$. По определению модуля, $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Наименьшее значение $|x|$ равно $0$ и достигается при $x=0$. Наибольшего значения у $|x|$ не существует, так как при $x$, стремящемся к $+\infty$ или $-\infty$, $|x|$ также стремится к $+\infty$. Таким образом, область значений для $|x|$ — это промежуток $[0; +\infty)$.

2. Теперь рассмотрим саму показательную функцию $y = 3^t$, где $t = |x|$. Поскольку основание степени $3$ больше единицы ($3>1$), эта функция является монотонно возрастающей. Это означает, что чем больше значение показателя степени $t$, тем больше значение функции $y$.

1) наибольшее значение

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 3^{|x|}$, нужно найти наибольшее значение ее показателя $|x|$. Как мы установили, выражение $|x|$ не ограничено сверху, то есть может принимать сколь угодно большие значения. Поскольку функция $y = 3^t$ возрастающая, ее значения также не ограничены сверху. При $x \to \infty$, $|x| \to \infty$, и, следовательно, $y = 3^{|x|} \to \infty$. Таким образом, у функции нет конечного наибольшего значения.

Ответ: нет, указать наибольшее значение невозможно.

2) наименьшее значение

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = 3^{|x|}$, нужно найти наименьшее значение ее показателя $|x|$. Наименьшее значение $|x|$ равно $0$ и достигается при $x=0$. Так как функция $y = 3^t$ возрастающая, ее наименьшее значение будет соответствовать наименьшему значению показателя. Подставим наименьшее значение показателя $t=0$ в функцию:

$y_{наим} = 3^0 = 1$.

Это значение функция принимает при $x=0$. Следовательно, наименьшее значение функции существует.

Ответ: да, наименьшее значение функции равно 1.

19.17. При каких значениях аргумента $x$ соответствующие значения функции $y = 2^{2x}$ будут больше $-\frac{1}{4}$?

Для того чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значения функции $y = 2^{2x}$ будут больше $\frac{1}{4}$, необходимо решить следующее показательное неравенство:

$2^{2x} > \frac{1}{4}$

Для решения этого неравенства приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к основанию 2. Представим число $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$2^{2x} > 2^{-2}$

Поскольку основание степени $a=2$ больше 1 ($a > 1$), показательная функция $y=a^t$ является возрастающей. Это значит, что для показателей степеней сохраняется тот же знак неравенства, что и для самих степеней. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей:

$2x > -2$

Разделим обе части полученного линейного неравенства на 2:

$x > \frac{-2}{2}$

$x > -1$

Таким образом, значения функции $y = 2^{2x}$ больше $\frac{1}{4}$ при всех значениях $x$, которые строго больше -1. В виде интервала это записывается как $x \in (-1; +\infty)$.

Ответ: $x > -1$.

19.18. Дана геометрическая прогрессия: 1; 3; 9; 27; 81; ... .Значениями какой показательной функции являются члены этой прогрессии и для каких значений аргумента?

Данная последовательность $1; 3; 9; 27; 81; \dots$ является геометрической прогрессией. Обозначим её члены как $(b_n)$. Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второй член на первый:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1} = 3$.Для проверки можно разделить третий член на второй: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{9}{3} = 3$. Знаменатель прогрессии постоянен и равен 3.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив известные значения $b_1=1$ и $q=3$, получим формулу для данной прогрессии:$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$.Здесь $n$ — это номер члена прогрессии, который является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.

Показательная функция имеет общий вид $y = a^x$, где $a$ — положительное число, не равное единице. Нам нужно найти такую функцию и такие значения её аргумента $x$, при которых значения функции будут совпадать с членами нашей прогрессии.

Сравнивая формулу члена прогрессии $b_n = 3^{n-1}$ с общей формой показательной функции $y = a^x$, мы видим, что в качестве основания степени естественно выбрать $a=3$. Таким образом, рассмотрим показательную функцию $y = 3^x$.

Теперь определим, при каких значениях аргумента $x$ значения этой функции будут равны членам прогрессии. Для этого приравняем значение функции к $n$-ому члену прогрессии:$y(x) = b_n$$3^x = 3^{n-1}$

Из равенства степеней с одинаковым основанием следует равенство их показателей:$x = n-1$.

Поскольку номер члена $n$ принимает значения из множества натуральных чисел ($1, 2, 3, \dots$), аргумент $x$ будет принимать соответствующие значения:

• при $n=1$, $x = 1-1 = 0$; значение функции $y(0)=3^0=1$ (первый член прогрессии).
• при $n=2$, $x = 2-1 = 1$; значение функции $y(1)=3^1=3$ (второй член прогрессии).
• при $n=3$, $x = 3-1 = 2$; значение функции $y(2)=3^2=9$ (третий член прогрессии).
• при $n=4$, $x = 4-1 = 3$; значение функции $y(3)=3^3=27$ (четвертый член прогрессии).

И так далее. Таким образом, аргумент $x$ принимает значения из множества целых неотрицательных чисел: $0, 1, 2, 3, \dots$.

Ответ: Члены данной геометрической прогрессии являются значениями показательной функции $y=3^x$ для аргументов, принимающих значения целых неотрицательных чисел ($x = 0, 1, 2, 3, \dots$).

19.19. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x - \cos x = 1;$

2) $\sin^2 x + 2\cos x = 0.$

1) $sin^2x - cosx = 1$

Для решения данного уравнения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2x + cos^2x = 1$. Выразим из него $sin^2x$:

$sin^2x = 1 - cos^2x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(1 - cos^2x) - cosx = 1$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$1 - cos^2x - cosx - 1 = 0$

$-cos^2x - cosx = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$cos^2x + cosx = 0$

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(cosx + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1. $cosx = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

2. $cosx + 1 = 0$

$cosx = -1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, решениями исходного уравнения являются обе серии корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $sin^2x + 2cosx = 0$

Как и в предыдущем задании, используем тождество $sin^2x = 1 - cos^2x$ и подставляем его в уравнение:

$(1 - cos^2x) + 2cosx = 0$

$-cos^2x + 2cosx + 1 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$cos^2x - 2cosx - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $cosx$. Сделаем замену переменной: пусть $t = cosx$. При этом необходимо учесть, что значения косинуса лежат в промежутке $[-1, 1]$, то есть $-1 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 2t - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения по формуле: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

$t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = 1 + \sqrt{2}$

$t_2 = 1 - \sqrt{2}$

Теперь вернемся к замене $t = cosx$ и проверим, принадлежат ли найденные корни отрезку $[-1, 1]$.

1. $cosx = 1 + \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1 + \sqrt{2} > 1$. Это значение не входит в область значений функции косинус, следовательно, это уравнение не имеет решений.

2. $cosx = 1 - \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1 - \sqrt{2} \approx -0.414$. Это значение принадлежит отрезку $[-1, 1]$, значит, уравнение имеет решения.

Общее решение для уравнения $cosx = a$ имеет вид $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае:

$x = \pm arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

19.20. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

1) $f(x) = 2\cos3x + 3x;$

2) $f(x) = -x^3 + 9x.$

1) Дана функция $f(x) = 2\cos(3x) + 3x$.

Для решения неравенства $f'(x) > 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правило дифференцирования сложной функции $(\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'$ и правило дифференцирования суммы, получаем:

$f'(x) = (2\cos(3x) + 3x)' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' + 3 = -6\sin(3x) + 3$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$-6\sin(3x) + 3 > 0$

$-6\sin(3x) > -3$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$\sin(3x) < \frac{1}{2}$

Обозначим $t = 3x$. Неравенство примет вид $\sin(t) < \frac{1}{2}$.

Рассмотрим единичную окружность. Уравнению $\sin(t) = \frac{1}{2}$ соответствуют углы $t_1 = \frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Неравенство $\sin(t) < \frac{1}{2}$ выполняется для углов $t$, которые лежат на дуге окружности от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ (следующего оборота). С учетом периодичности синуса, общее решение для $t$ можно записать в виде:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 3x$:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3})$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = -x^3 + 9x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (-x^3 + 9x)' = -3x^2 + 9$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$-3x^2 + 9 > 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$-3x^2 > -9$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 < 3$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.

Графически, парабола $y = x^2 - 3$ находится ниже оси абсцисс между своими корнями $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.

19.21. Найдите неопределенный интеграл:

1) $\int \left(5x^4 - 3x^2 + \frac{1}{1+x^2}\right)dx$;

2) $\int (\cos 2x - (2x + 1)^3)dx$.

1) Найдем неопределенный интеграл $\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{1}{1+x^2})dx$.

Используем свойство линейности интеграла, которое позволяет разбить интеграл от суммы на сумму интегралов:

$\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{1}{1+x^2})dx = \int 5x^4 dx - \int 3x^2 dx + \int \frac{1}{1+x^2}dx$.

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности, используя таблицу основных интегралов:

Первый интеграл, используя формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int 5x^4 dx = 5 \int x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$.

Второй интеграл, используя ту же формулу:

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Третий интеграл является табличным:

$\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan(x)$.

Теперь объединим полученные результаты и добавим константу интегрирования $C$:

$x^5 - x^3 + \arctan(x) + C$.

Ответ: $x^5 - x^3 + \arctan(x) + C$.

2) Найдем неопределенный интеграл $\int (\cos(2x) - (2x+1)^3)dx$.

Используем свойство линейности интеграла:

$\int (\cos(2x) - (2x+1)^3)dx = \int \cos(2x)dx - \int (2x+1)^3 dx$.

Вычислим каждый интеграл:

Для первого интеграла используем формулу $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$:

$\int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Для второго интеграла используем формулу для интегрирования степенной функции сложного аргумента $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $k=2$, $b=1$, $n=3$.

$\int (2x+1)^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^4}{4} = \frac{(2x+1)^4}{8}$.

Теперь объединим результаты и добавим общую константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{(2x+1)^4}{8} + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{(2x+1)^4}{8} + C$.