Страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Чем отличаются логарифмы взаимообратных чисел по одному и тому же основанию? Ответ обоснуйте.

2. Существуют ли логарифмы отрицательных чисел в области действительных чисел? Ответ обоснуйте.

3. Логарифмы каких чисел нужно знать, чтобы вычислить десятичные логарифмы всех натуральных чисел первого десятка?

4. Как можно вычислить $ln10$ зная значение $lge$?

5. Что больше: десятичный или натуральный логарифм данного числа $N$?

6. Какие из общих свойств логарифма присущи натуральному логарифму?

1. Чем отличаются логарифмы взаимообратных чисел по одному и тому же основанию? Ответ обоснуйте.

Логарифмы взаимнообратных чисел по одному и тому же основанию являются противоположными числами, то есть они равны по модулю, но имеют разные знаки.

Обоснование:

Пусть даны два взаимнообратных числа $x$ и $\frac{1}{x}$ (где $x > 0$). Найдем их логарифмы по основанию $a$ (где $a > 0, a \ne 1$). Первый логарифм: $log_a(x)$. Второй логарифм: $log_a(\frac{1}{x})$. Используя свойство логарифма степени, мы можем преобразовать второй логарифм: $log_a(\frac{1}{x}) = log_a(x^{-1}) = -1 \cdot log_a(x) = -log_a(x)$. Таким образом, $log_a(\frac{1}{x})$ и $log_a(x)$ — это противоположные числа. Их сумма равна нулю: $log_a(x) + log_a(\frac{1}{x}) = log_a(x \cdot \frac{1}{x}) = log_a(1) = 0$.

Ответ: Логарифмы взаимообратных чисел по одному и тому же основанию отличаются знаком (являются противоположными числами).

2. Существуют ли логарифмы отрицательных чисел в области действительных чисел? Ответ обоснуйте.

Нет, в области действительных чисел логарифмы отрицательных чисел не существуют.

Обоснование:

По определению, логарифм $log_a(b) = c$ — это такое число $c$, что $a^c = b$. В области действительных чисел на основание логарифма $a$ и число под логарифмом $b$ накладываются ограничения: $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$. Требование $b > 0$ вытекает из того, что основание $a$ — положительное число. Любая действительная степень положительного числа $a$ также является положительным числом ($a^c > 0$). Следовательно, не существует такого действительного числа $c$, чтобы при возведении положительного основания $a$ в эту степень получилось отрицательное число $b$.

Ответ: Нет, в области действительных чисел логарифмы отрицательных чисел не существуют, так как положительное основание, возведенное в любую действительную степень, всегда дает положительный результат.

3. Логарифмы каких чисел нужно знать, чтобы вычислить десятичные логарифмы всех натуральных чисел первого десятка?

Для вычисления десятичных логарифмов всех натуральных чисел от 1 до 10 (lg 1, lg 2, ..., lg 10) достаточно знать значения логарифмов простых чисел из этого диапазона, а именно lg 2, lg 3 и lg 7.

Обоснование:

Натуральные числа первого десятка: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

- $lg(1) = 0$ и $lg(10) = 1$ известны из определения десятичного логарифма.

- $lg(2)$, $lg(3)$, $lg(7)$ — логарифмы простых чисел, их нужно знать.

- Остальные логарифмы можно вычислить, используя свойства логарифмов и уже известные значения:

$lg(4) = lg(2^2) = 2 \cdot lg(2)$

$lg(5) = lg(\frac{10}{2}) = lg(10) - lg(2) = 1 - lg(2)$

$lg(6) = lg(2 \cdot 3) = lg(2) + lg(3)$

$lg(8) = lg(2^3) = 3 \cdot lg(2)$

$lg(9) = lg(3^2) = 2 \cdot lg(3)$

Таким образом, зная всего три значения ($lg(2)$, $lg(3)$, $lg(7)$), можно найти логарифмы всех чисел от 1 до 10.

Ответ: Нужно знать десятичные логарифмы простых чисел: 2, 3 и 7.

4. Как можно вычислить ln10 зная значение lge?

Зная значение $lg(e)$, можно вычислить $ln(10)$ с помощью формулы перехода к новому основанию, которая в частном случае дает соотношение: $log_a(b) = \frac{1}{log_b(a)}$.

В нашем случае $ln(10) = log_e(10)$, а $lg(e) = log_{10}(e)$.

Применяя формулу, получаем:

$ln(10) = log_e(10) = \frac{1}{log_{10}(e)} = \frac{1}{lg(e)}$.

Таким образом, чтобы найти натуральный логарифм числа 10, нужно разделить 1 на десятичный логарифм числа e.

Ответ: Можно вычислить по формуле $ln(10) = \frac{1}{lg(e)}$.

5. Что больше: десятичный или натуральный логарифм данного числа N?

Сравнение десятичного ($lg(N) = log_{10}(N)$) и натурального ($ln(N) = log_e(N)$) логарифмов зависит от значения числа $N$. Основание натурального логарифма $e \approx 2.718$, а десятичного — 10. Так как $e < 10$, поведение логарифмических функций будет разным.

1. Если $N > 1$. Логарифмическая функция $y = log_a(x)$ при $a > 1$ является возрастающей. Чем меньше основание $a$, тем быстрее растет функция. Так как $e < 10$, график $y=ln(x)$ лежит выше графика $y=lg(x)$. Следовательно, $ln(N) > lg(N)$.

2. Если $N = 1$. Логарифм любого числа по любому основанию равен нулю. Следовательно, $ln(1) = lg(1) = 0$.

3. Если $0 < N < 1$. В этом диапазоне значения логарифмов отрицательны. Так как для $x > 1$ было $ln(x) > lg(x)$, то для $0 < x < 1$ неравенство меняет знак: $ln(N) < lg(N)$. Например, $ln(0.1) \approx -2.3$, а $lg(0.1) = -1$.

Ответ: Если $N > 1$, то натуральный логарифм больше десятичного ($ln(N) > lg(N)$). Если $0 < N < 1$, то десятичный логарифм больше натурального ($lg(N) > ln(N)$). Если $N = 1$, они равны.

6. Какие из общих свойств логарифма присущи натуральному логарифму?

Натуральный логарифм ($ln(x)$) является частным случаем логарифма, где в качестве основания выступает трансцендентное число $e$. Поэтому натуральному логарифму присущи абсолютно все общие свойства логарифмов.

Основные свойства:

- Основное логарифмическое тождество: $e^{ln(x)} = x$ для $x > 0$.

- Логарифм единицы: $ln(1) = 0$.

- Логарифм основания: $ln(e) = 1$.

- Логарифм произведения: $ln(x \cdot y) = ln(x) + ln(y)$ для $x>0, y>0$.

- Логарифм частного: $ln(\frac{x}{y}) = ln(x) - ln(y)$ для $x>0, y>0$.

- Логарифм степени: $ln(x^p) = p \cdot ln(x)$ для $x>0$.

- Формула перехода к новому основанию: $ln(x) = \frac{log_a(x)}{log_a(e)}$.

Ответ: Натуральному логарифму присущи все общие свойства логарифмов.

20.1. Найдите логарифмы чисел 1; 9; 81; 243; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{27}$ по основанию 3

По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается как $\log_a b$) – это показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, равенство $\log_a b = c$ эквивалентно равенству $a^c = b$. В данной задаче нам нужно найти логарифмы различных чисел по основанию 3.

1:Необходимо найти $\log_3 1$. Для этого ищем такое число $x$, что $3^x = 1$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $3^0 = 1$. Отсюда следует, что $x=0$.

Ответ: 0

9:Необходимо найти $\log_3 9$. Для этого ищем такое число $x$, что $3^x = 9$. Поскольку $3^2 = 9$, то $x=2$.

Ответ: 2

81:Необходимо найти $\log_3 81$. Для этого ищем такое число $x$, что $3^x = 81$. Представим число 81 как степень основания 3: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$. Отсюда следует, что $x=4$.

Ответ: 4

243:Необходимо найти $\log_3 243$. Для этого ищем такое число $x$, что $3^x = 243$. Представим число 243 как степень основания 3. Мы знаем, что $3^4 = 81$, тогда $3^5 = 3^4 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$. Отсюда следует, что $x=5$.

Ответ: 5

$\frac{1}{3}$:Необходимо найти $\log_3 \frac{1}{3}$. Для этого ищем такое число $x$, что $3^x = \frac{1}{3}$. Согласно свойству степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), мы можем записать, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Отсюда следует, что $x=-1$.

Ответ: -1

$\frac{1}{27}$:Необходимо найти $\log_3 \frac{1}{27}$. Для этого ищем такое число $x$, что $3^x = \frac{1}{27}$. Сначала представим 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$. Тогда, используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$. Отсюда следует, что $x=-3$.

Ответ: -3

Вычислите (20.2–20.3):

20.2. 1) $log_2 16$;

20.2. 2) $log_{0.2} 0.04$;

20.2. 3) $log_3 \frac{1}{81}$;

20.2. 4) $log_{\frac{1}{3}} 9$;

20.2. 5) $log_{23} 1$;

20.2. 6) $log_5 \frac{1}{125}$.

1) Чтобы вычислить $log_2 16$, необходимо найти показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание $2$, чтобы получить число $16$. Это можно записать в виде уравнения: $2^x = 16$. Так как $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$, мы можем переписать уравнение как $2^x = 2^4$. Приравнивая показатели степеней, получаем $x = 4$.

Ответ: 4

2) Необходимо вычислить $log_{0{,}2} 0{,}04$. Пусть искомое значение равно $x$, то есть $log_{0{,}2} 0{,}04 = x$. По определению логарифма, это означает, что $(0{,}2)^x = 0{,}04$. Заметим, что $0{,}04$ является квадратом $0{,}2$, так как $0{,}2^2 = 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04$. Таким образом, наше уравнение принимает вид $(0{,}2)^x = (0{,}2)^2$. Отсюда следует, что $x=2$.

Ответ: 2

3) Вычислим $log_3 \frac{1}{81}$. Обозначим это значение через $x$: $log_3 \frac{1}{81} = x$. Согласно определению логарифма, $3^x = \frac{1}{81}$. Нам нужно представить правую часть уравнения как степень с основанием $3$. Мы знаем, что $81 = 3^4$. Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$. Уравнение становится $3^x = 3^{-4}$. Приравнивая показатели, находим, что $x = -4$.

Ответ: -4

4) Вычислим $log_{\frac{1}{3}} 9$. Пусть $log_{\frac{1}{3}} 9 = x$. По определению логарифма, это равносильно уравнению $(\frac{1}{3})^x = 9$. Чтобы решить это уравнение, приведем обе его части к одному основанию, например, к $3$. Основание логарифма $\frac{1}{3}$ можно записать как $3^{-1}$. Число $9$ можно записать как $3^2$. Подставим эти выражения в уравнение: $(3^{-1})^x = 3^2$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, левая часть становится $3^{-x}$. Теперь уравнение выглядит так: $3^{-x} = 3^2$. Приравнивая показатели степеней, получаем $-x = 2$, откуда $x = -2$.

Ответ: -2

5) Необходимо вычислить $log_{23} 1$. По одному из основных свойств логарифмов, логарифм единицы по любому допустимому основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) всегда равен нулю. Это следует из определения: если $log_a 1 = x$, то $a^x = 1$. Любое ненулевое число в степени $0$ равно $1$, поэтому $x=0$. Таким образом, $log_{23} 1 = 0$.

Ответ: 0

6) Вычислим $log_5 \frac{1}{125}$. Пусть $log_5 \frac{1}{125} = x$. По определению логарифма, $5^x = \frac{1}{125}$. Представим $125$ как степень числа $5$. Поскольку $125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3$, мы можем записать $\frac{1}{125}$ как $\frac{1}{5^3}$. Используя свойство отрицательной степени, получаем $\frac{1}{5^3} = 5^{-3}$. Наше уравнение принимает вид $5^x = 5^{-3}$. Отсюда следует, что $x = -3$.

Ответ: -3