Страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.21. 1) $\log_2 \log_5 \sqrt[8]{5}$;

2) $(\log_3 (\log_{1/5} \frac{1}{125}))^2$;

3) $\log_4 \log_3 \sqrt{81}$;

4) $\log_{\sqrt{5}} \log_{1/5} \frac{1}{125}$;

5) $\log_{\frac{8}{27}} \log_{25} 125$;

6) $\log_{1/4} (\log_2 3 \cdot \log_3 4)$.

1) Для решения выражения $\log_2 \log_5 \sqrt[8]{5}$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_5 \sqrt[8]{5}$.

Представим корень в виде степени: $\sqrt[8]{5} = 5^{1/8}$.

Используя свойство логарифма $\log_a a^b = b$, получаем:

$\log_5 5^{1/8} = \frac{1}{8}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\log_2 (\frac{1}{8})$.

Представим $\frac{1}{8}$ как степень числа 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

$\log_2 2^{-3} = -3$.

Ответ: -3

2) Выражение $\log_3^2 \log_{1/5} \frac{1}{125}$ означает $(\log_3 (\log_{1/5} \frac{1}{125}))^2$.

Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{1/5} \frac{1}{125}$.

Представим аргумент $\frac{1}{125}$ как степень основания $\frac{1}{5}$: $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = (\frac{1}{5})^3$.

Тогда $\log_{1/5} (\frac{1}{5})^3 = 3$.

Теперь подставим результат в следующий логарифм:

$\log_3 3 = 1$.

Наконец, возведем результат в квадрат:

$1^2 = 1$.

Ответ: 1

3) Для решения выражения $\log_4 \log_3 \sqrt{81}$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_3 \sqrt{81}$.

$\sqrt{81} = 9$.

$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\log_4 2$.

Чтобы найти этот логарифм, представим основание 4 как степень числа 2: $4=2^2$.

Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_4 2 = \log_{2^2} 2^1 = \frac{1}{2} \log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Для решения выражения $\log_{\sqrt{5}} \log_{1/5} \frac{1}{125}$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{1/5} \frac{1}{125}$.

Как и в задании 2, $\log_{1/5} \frac{1}{125} = \log_{1/5} (\frac{1}{5})^3 = 3$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\log_{\sqrt{5}} 3$.

Представим основание в виде степени: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.

$\log_{5^{1/2}} 3$.

Используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, получаем:

$\log_{5^{1/2}} 3 = \frac{1}{1/2}\log_5 3 = 2\log_5 3$.

Ответ: $2\log_5 3$

5) Для решения выражения $\log_{8/27} \log_{25} 125$ сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{25} 125$.

Представим основание и аргумент как степени числа 5: $25=5^2$, $125=5^3$.

Используем свойство $\log_{a^n} a^m = \frac{m}{n}$:

$\log_{25} 125 = \log_{5^2} 5^3 = \frac{3}{2}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\log_{8/27} (\frac{3}{2})$.

Представим основание и аргумент как степени числа $\frac{2}{3}$:

$\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$.

$\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$.

Получаем: $\log_{(\frac{2}{3})^3} (\frac{2}{3})^{-1} = \frac{-1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

6) Для решения выражения $\log_{1/4} (\log_2 3 \cdot \log_3 4)$ сначала вычислим значение в скобках.

Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$:

$\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4$.

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\log_{1/4} 2$.

Представим основание $\frac{1}{4}$ как степень числа 2: $\frac{1}{4} = 2^{-2}$.

$\log_{1/4} 2 = \log_{2^{-2}} 2^1 = \frac{1}{-2} \log_2 2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

20.22. Между какими целыми числами заключается значение логарифма числа:

1) 7, 30, 120, 495 — по основанию 2;

2) 3, 18, 134 и 1782 — по основанию 10?

1)

Чтобы найти, между какими целыми числами заключается значение логарифма числа по основанию 2, нужно найти такое целое число $n$, что выполняется неравенство $2^n < x < 2^{n+1}$, где $x$ — данное число. Тогда по определению и свойству монотонности логарифма будет выполняться неравенство $n < \log_2(x) < n+1$.

Для числа 7: найдём степени двойки, между которыми находится число 7. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $2^3 = 8$. Так как $4 < 7 < 8$, то справедливо неравенство $2^2 < 7 < 2^3$. Логарифмируя все части по основанию 2, получаем $\log_2(2^2) < \log_2(7) < \log_2(2^3)$, откуда следует, что $2 < \log_2(7) < 3$. Значение логарифма находится между 2 и 3.

Для числа 30: найдём степени двойки. $2^4 = 16$ и $2^5 = 32$. Так как $16 < 30 < 32$, то $2^4 < 30 < 2^5$. Отсюда следует, что $4 < \log_2(30) < 5$. Значение логарифма находится между 4 и 5.

Для числа 120: найдём степени двойки. $2^6 = 64$ и $2^7 = 128$. Так как $64 < 120 < 128$, то $2^6 < 120 < 2^7$. Отсюда следует, что $6 < \log_2(120) < 7$. Значение логарифма находится между 6 и 7.

Для числа 495: найдём степени двойки. $2^8 = 256$ и $2^9 = 512$. Так как $256 < 495 < 512$, то $2^8 < 495 < 2^9$. Отсюда следует, что $8 < \log_2(495) < 9$. Значение логарифма находится между 8 и 9.

Ответ: значение $\log_2(7)$ заключается между 2 и 3; $\log_2(30)$ — между 4 и 5; $\log_2(120)$ — между 6 и 7; $\log_2(495)$ — между 8 и 9.

2)

Аналогично, чтобы найти, между какими целыми числами заключается значение логарифма числа по основанию 10, нужно найти такое целое число $n$, что выполняется неравенство $10^n < x < 10^{n+1}$. Тогда $n < \log_{10}(x) < n+1$.

Для числа 3: найдём степени десяти. $10^0 = 1$ и $10^1 = 10$. Так как $1 < 3 < 10$, то $10^0 < 3 < 10^1$. Отсюда следует, что $0 < \log_{10}(3) < 1$. Значение логарифма находится между 0 и 1.

Для числа 18: найдём степени десяти. $10^1 = 10$ и $10^2 = 100$. Так как $10 < 18 < 100$, то $10^1 < 18 < 10^2$. Отсюда следует, что $1 < \log_{10}(18) < 2$. Значение логарифма находится между 1 и 2.

Для числа 134: найдём степени десяти. $10^2 = 100$ и $10^3 = 1000$. Так как $100 < 134 < 1000$, то $10^2 < 134 < 10^3$. Отсюда следует, что $2 < \log_{10}(134) < 3$. Значение логарифма находится между 2 и 3.

Для числа 1782: найдём степени десяти. $10^3 = 1000$ и $10^4 = 10000$. Так как $1000 < 1782 < 10000$, то $10^3 < 1782 < 10^4$. Отсюда следует, что $3 < \log_{10}(1782) < 4$. Значение логарифма находится между 3 и 4.

Ответ: значение $\log_{10}(3)$ заключается между 0 и 1; $\log_{10}(18)$ — между 1 и 2; $\log_{10}(134)$ — между 2 и 3; $\log_{10}(1782)$ — между 3 и 4.

20.23. Между какими отрицательными целыми числами заключаются

логарифмы чисел:

1) 0,07; 0,018; 0,00125; 0,00005 — по основанию 10;

2) $\frac{1}{15}$; $\frac{3}{80}$; $\frac{1}{120}$ — по основанию 2?

1) Чтобы определить, между какими двумя последовательными отрицательными целыми числами $n$ и $n+1$ находится десятичный логарифм числа $x$ (то есть, логарифм по основанию 10), необходимо найти такое целое $n$, для которого выполняется неравенство $n < \lg(x) < n+1$. Так как логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, это неравенство эквивалентно неравенству $10^n < x < 10^{n+1}$.

Рассмотрим число 0,07.

Сравним его со степенями 10: $0,01 < 0,07 < 0,1$.

В виде степеней это записывается как $10^{-2} < 0,07 < 10^{-1}$.

Применяя логарифм по основанию 10 ко всем частям неравенства, получаем: $\lg(10^{-2}) < \lg(0,07) < \lg(10^{-1})$.

Отсюда следует, что $-2 < \lg(0,07) < -1$.

Таким образом, логарифм числа 0,07 заключен между числами -2 и -1.

Рассмотрим число 0,018.

Сравним его со степенями 10: $0,01 < 0,018 < 0,1$.

В виде степеней это записывается как $10^{-2} < 0,018 < 10^{-1}$.

Применяя логарифм по основанию 10, получаем: $\lg(10^{-2}) < \lg(0,018) < \lg(10^{-1})$.

Отсюда следует, что $-2 < \lg(0,018) < -1$.

Таким образом, логарифм числа 0,018 заключен между числами -2 и -1.

Рассмотрим число 0,00125.

Сравним его со степенями 10: $0,001 < 0,00125 < 0,01$.

В виде степеней это записывается как $10^{-3} < 0,00125 < 10^{-2}$.

Применяя логарифм по основанию 10, получаем: $\lg(10^{-3}) < \lg(0,00125) < \lg(10^{-2})$.

Отсюда следует, что $-3 < \lg(0,00125) < -2$.

Таким образом, логарифм числа 0,00125 заключен между числами -3 и -2.

Рассмотрим число 0,00005.

Сравним его со степенями 10: $0,00001 < 0,00005 < 0,0001$.

В виде степеней это записывается как $10^{-5} < 0,00005 < 10^{-4}$.

Применяя логарифм по основанию 10, получаем: $\lg(10^{-5}) < \lg(0,00005) < \lg(10^{-4})$.

Отсюда следует, что $-5 < \lg(0,00005) < -4$.

Таким образом, логарифм числа 0,00005 заключен между числами -5 и -4.

Ответ: $\lg(0,07)$ и $\lg(0,018)$ заключены между -2 и -1; $\lg(0,00125)$ заключен между -3 и -2; $\lg(0,00005)$ заключен между -5 и -4.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными отрицательными целыми числами $n$ и $n+1$ находится логарифм числа $x$ по основанию 2, необходимо найти такое целое $n$, для которого выполняется неравенство $n < \log_2(x) < n+1$. Так как логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, это неравенство эквивалентно неравенству $2^n < x < 2^{n+1}$.

Рассмотрим число $\frac{1}{15}$.

Найдем степени 2, между которыми находится это число. Для этого сравним знаменатели: $8 < 15 < 16$.

Перевернув дроби, получим: $\frac{1}{16} < \frac{1}{15} < \frac{1}{8}$.

В виде степеней это записывается как $2^{-4} < \frac{1}{15} < 2^{-3}$.

Применяя логарифм по основанию 2 ко всем частям неравенства, получаем: $\log_2(2^{-4}) < \log_2(\frac{1}{15}) < \log_2(2^{-3})$.

Отсюда следует, что $-4 < \log_2(\frac{1}{15}) < -3$.

Таким образом, логарифм числа $\frac{1}{15}$ заключен между числами -4 и -3.

Рассмотрим число $\frac{3}{80}$.

Найдем степени 2, между которыми находится это число. Сравним его со степенями двойки: $2^{-5} = \frac{1}{32}$ и $2^{-4} = \frac{1}{16}$.

Приведем дроби к общему знаменателю для сравнения: $\frac{3}{80}$ и $\frac{1}{32} = \frac{2.5}{80}$. Так как $2.5 < 3$, то $\frac{1}{32} < \frac{3}{80}$.

Сравним $\frac{3}{80}$ и $\frac{1}{16} = \frac{5}{80}$. Так как $3 < 5$, то $\frac{3}{80} < \frac{1}{16}$.

Получаем неравенство: $\frac{1}{32} < \frac{3}{80} < \frac{1}{16}$, или $2^{-5} < \frac{3}{80} < 2^{-4}$.

Применяя логарифм по основанию 2, получаем: $\log_2(2^{-5}) < \log_2(\frac{3}{80}) < \log_2(2^{-4})$.

Отсюда следует, что $-5 < \log_2(\frac{3}{80}) < -4$.

Таким образом, логарифм числа $\frac{3}{80}$ заключен между числами -5 и -4.

Рассмотрим число $\frac{1}{120}$.

Найдем степени 2, между которыми находится это число. Сравним знаменатели: $64 < 120 < 128$.

Перевернув дроби, получим: $\frac{1}{128} < \frac{1}{120} < \frac{1}{64}$.

В виде степеней это записывается как $2^{-7} < \frac{1}{120} < 2^{-6}$.

Применяя логарифм по основанию 2, получаем: $\log_2(2^{-7}) < \log_2(\frac{1}{120}) < \log_2(2^{-6})$.

Отсюда следует, что $-7 < \log_2(\frac{1}{120}) < -6$.

Таким образом, логарифм числа $\frac{1}{120}$ заключен между числами -7 и -6.

Ответ: $\log_2(\frac{1}{15})$ заключен между -4 и -3; $\log_2(\frac{3}{80})$ заключен между -5 и -4; $\log_2(\frac{1}{120})$ заключен между -7 и -6.

20.24. 1) Чему равен логарифм числа $\sqrt[5]{8}$ по основанию: $2; \frac{1}{2}; 4; 16; 64?$

2) При каком основании $a$ значение $\log_a \sqrt{27}$ равно: $\frac{3}{2}; \frac{2}{3}; -\frac{1}{2}; -\frac{3}{4}?$

1) Чтобы найти логарифм числа $\sqrt[5]{8}$ по различным основаниям, сначала преобразуем это число. Число $8$ можно представить как степень двойки: $8=2^3$. Тогда корень пятой степени из восьми равен: $\sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{2^3} = (2^3)^{1/5} = 2^{3/5}$. Для вычисления логарифмов будем использовать свойство $\log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a$.

по основанию 2:

$\log_2(\sqrt[5]{8}) = \log_2(2^{3/5}) = \frac{3}{5} \log_2(2) = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

по основанию $\frac{1}{2}$:

Основание $\frac{1}{2}$ можно представить как $2^{-1}$. Тогда:

$\log_{1/2}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^{-1}}(2^{3/5}) = \frac{3/5}{-1} \log_2(2) = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $-\frac{3}{5}$.

по основанию 4:

Основание $4$ можно представить как $2^2$. Тогда:

$\log_4(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^2}(2^{3/5}) = \frac{3/5}{2} \log_2(2) = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.

по основанию 16:

Основание $16$ можно представить как $2^4$. Тогда:

$\log_{16}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^4}(2^{3/5}) = \frac{3/5}{4} \log_2(2) = \frac{3}{20}$.

Ответ: $\frac{3}{20}$.

по основанию 64:

Основание $64$ можно представить как $2^6$. Тогда:

$\log_{64}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^6}(2^{3/5}) = \frac{3/5}{6} \log_2(2) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

2) Чтобы найти основание $a$, при котором значение $\log_a \sqrt{27}$ равно заданным числам, сначала преобразуем число под знаком логарифма. Число $27=3^3$, тогда $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{3/2}$. Задача сводится к решению уравнений вида $\log_a (3^{3/2}) = x$ для различных $x$. По определению логарифма ($a>0, a \neq 1$), это уравнение эквивалентно степенному уравнению $a^x = 3^{3/2}$.

при значении $\frac{3}{2}$:

Уравнение имеет вид $\log_a \sqrt{27} = \frac{3}{2}$. Следовательно, $a^{3/2} = \sqrt{27} = 3^{3/2}$. Отсюда $a=3$.

Ответ: $a=3$.

при значении $\frac{2}{3}$:

Уравнение имеет вид $\log_a \sqrt{27} = \frac{2}{3}$. Следовательно, $a^{2/3} = 3^{3/2}$. Возведем обе части в степень $\frac{3}{2}$: $(a^{2/3})^{3/2} = (3^{3/2})^{3/2}$, что дает $a = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}} = 3^{9/4}$.

Ответ: $a=3^{9/4}$.

при значении $-\frac{1}{2}$:

Уравнение имеет вид $\log_a \sqrt{27} = -\frac{1}{2}$. Следовательно, $a^{-1/2} = 3^{3/2}$. Возведем обе части в степень $-2$: $(a^{-1/2})^{-2} = (3^{3/2})^{-2}$, что дает $a = 3^{\frac{3}{2} \cdot (-2)} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $a=\frac{1}{27}$.

при значении $-\frac{3}{4}$:

Уравнение имеет вид $\log_a \sqrt{27} = -\frac{3}{4}$. Следовательно, $a^{-3/4} = 3^{3/2}$. Возведем обе части в степень $-\frac{4}{3}$: $(a^{-3/4})^{-4/3} = (3^{3/2})^{-4/3}$, что дает $a = 3^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $a=\frac{1}{9}$.

20.25. Показать в общем виде, что если числа образуют геометрическую прогрессию с положительными членами, то логарифмы этих чисел образуют арифметическую прогрессию.

Пусть дана последовательность чисел $b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n, \ldots$, которая является геометрической прогрессией с положительными членами.Это означает, что существует первый член $b_1 > 0$ и знаменатель прогрессии $q > 0$ такие, что каждый следующий член получается из предыдущего умножением на $q$.

Формула $n$-го члена такой геометрической прогрессии имеет вид:$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Рассмотрим последовательность $a_n$, члены которой являются логарифмами соответствующих членов прогрессии $b_n$ по произвольному основанию $c$ (где $c > 0$ и $c \neq 1$). Так как все $b_n > 0$, их логарифмы существуют.$a_n = \log_c(b_n)$

Подставим в это выражение формулу для $b_n$:$a_n = \log_c(b_1 \cdot q^{n-1})$

Воспользуемся свойствами логарифмов: логарифм произведения равен сумме логарифмов $\log_c(xy) = \log_c(x) + \log_c(y)$, и логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания $\log_c(x^k) = k \cdot \log_c(x)$.Применим эти свойства к нашему выражению:$a_n = \log_c(b_1) + \log_c(q^{n-1})$$a_n = \log_c(b_1) + (n-1) \cdot \log_c(q)$

Полученное выражение имеет вид формулы $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.Чтобы строго доказать, что последовательность $a_n$ является арифметической, нужно показать, что разность между любым её членом и предыдущим постоянна. Найдем эту разность $a_{n+1} - a_n$.

Сначала найдем $(n+1)$-й член последовательности $a_{n+1}$:$a_{n+1} = \log_c(b_1) + ((n+1)-1) \cdot \log_c(q) = \log_c(b_1) + n \cdot \log_c(q)$

Теперь вычислим разность:$a_{n+1} - a_n = (\log_c(b_1) + n \cdot \log_c(q)) - (\log_c(b_1) + (n-1) \cdot \log_c(q))$$a_{n+1} - a_n = \log_c(b_1) - \log_c(b_1) + n \cdot \log_c(q) - (n-1) \cdot \log_c(q)$$a_{n+1} - a_n = (n - (n-1)) \cdot \log_c(q)$$a_{n+1} - a_n = (n - n + 1) \cdot \log_c(q) = \log_c(q)$

Разность между соседними членами последовательности $a_n$ является постоянной величиной, равной $\log_c(q)$. Это по определению означает, что последовательность $a_n$ является арифметической прогрессией.Первый член этой арифметической прогрессии равен $a_1 = \log_c(b_1)$, а её разность $d = \log_c(q)$.

Таким образом, мы показали, что логарифмы членов геометрической прогрессии с положительными членами образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: Утверждение доказано. Если $b_n$ — геометрическая прогрессия с $b_1 > 0$ и $q > 0$, то последовательность $a_n = \log_c(b_n)$ является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = \log_c(b_1)$ и разностью $d = \log_c(q)$.

Найдите значения выражений (20.26–20.28):

20.26. 1) $0,25(1 + 4^{\log_2 5})\log_{26} 4$;

2) $10^{2 - \lg 2} - 25^{\log_5 4}$;

3) $81^{\log_9 2 - 0,25\log_3 2}$;

4) $81^{-\log_{0,5} 3 - \log_1 \frac{4}{3} + 2,5}$;

5) $\frac{\log_2^2 14 + (\log_2 14)(\log_2 56) - 2\log_2^2 56}{\log_2 14 - \log_2 56}$;

6) $\frac{\log_5^2 7\sqrt{5} + 2\log_5^2 7 - 3(\log_5 7\sqrt{5})(\log_5 7)}{\log_5 7\sqrt{5} - \log_5 49}$;

7) $\frac{\log_4^2 12 + 3\log_4^2 \frac{1}{3} + 4(\log_4 12)(\log_4 \frac{1}{3})}{\log_4 12 + 3\log_4 \frac{1}{3}}$;

8) $\frac{2\log_2^2 3 - \log_2^2 12 - \log_2 3 \cdot \log_2 12}{2\log_2 3 + \log_2 12}$.

1)

Преобразуем выражение по частям. Сначала вычислим выражение в скобках: $1 + 4^{\log_2 5}$. Используем свойства степеней и логарифмов: $4^{\log_2 5} = (2^2)^{\log_2 5} = 2^{2\log_2 5} = 2^{\log_2 5^2} = 2^{\log_2 25} = 25$. Тогда $1 + 4^{\log_2 5} = 1 + 25 = 26$. Теперь выражение имеет вид: $0,25 \cdot 26 \cdot \log_{26^2} 4 = 6,5 \cdot \log_{26^2} 4$. Преобразуем логарифм: $\log_{26^2} 4 = \frac{1}{2} \log_{26} 4 = \log_{26} 4^{1/2} = \log_{26} 2$. В результате получаем $6,5 \log_{26} 2$. Это выражение не упрощается до рационального числа, что нетипично для задач такого типа. Вероятно, в условии допущена опечатка. Предположим, что вместо аргумента $4$ в логарифме должен быть $\sqrt{26}$. В этом случае решение будет следующим: $0,25(1 + 4^{\log_2 5})\log_{26^2} \sqrt{26} = 0,25 \cdot 26 \cdot \log_{26^2} (26^{1/2})$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем: $\log_{26^2} 26^{1/2} = \frac{1/2}{2} \log_{26} 26 = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$. Тогда всё выражение равно: $6,5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{13}{8} = 1,625$.

Ответ: $1,625$.

2)

Рассмотрим каждый член выражения по отдельности. Первый член: $10^{2-\lg 2} = \frac{10^2}{10^{\lg 2}}$. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ (здесь $\lg$ - это логарифм по основанию 10), получаем $10^{\lg 2} = 2$. Таким образом, $10^{2-\lg 2} = \frac{100}{2} = 50$. Второй член: $25^{\log_5 4} = (5^2)^{\log_5 4} = 5^{2\log_5 4} = 5^{\log_5 4^2} = 5^{\log_5 16} = 16$. Теперь вычисляем разность: $50 - 16 = 34$.

Ответ: $34$.

3)

Сначала упростим показатель степени: $\log_9 2 - 0,25\log_3 2$. Приведем логарифмы к одному основанию 3: $\log_9 2 = \log_{3^2} 2 = \frac{1}{2}\log_3 2 = 0,5\log_3 2$. Теперь показатель степени равен: $0,5\log_3 2 - 0,25\log_3 2 = (0,5 - 0,25)\log_3 2 = 0,25\log_3 2$. Подставим это в исходное выражение: $81^{0,25\log_3 2}$. Так как $81 = 3^4$ и $0,25 = \frac{1}{4}$, получаем: $(3^4)^{\frac{1}{4}\log_3 2} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}\log_3 2} = 3^{\log_3 2} = 2$.

Ответ: $2$.

4)

Упростим показатель степени $81$: $-\log_{0,5} 3 - \log_{1/3} 4 + 2,5$. Преобразуем логарифмы: $-\log_{0,5} 3 = -\log_{2^{-1}} 3 = -(-1)\log_2 3 = \log_2 3$. $-\log_{1/3} 4 = -\log_{3^{-1}} 4 = -(-1)\log_3 4 = \log_3 4$. Показатель степени: $\log_2 3 + \log_3 4 + 2,5$. Выражение $81^{\log_2 3 + \log_3 4 + 2,5}$ не упрощается до рационального числа. Предположим, что в условии опечатка, и между логарифмами в показателе степени должен стоять знак умножения, а не минус: $81^{(-\log_{0,5} 3) \cdot (\log_{1/3} 4) + 2,5}$. В этом случае, упростим произведение логарифмов: $(-\log_{0,5} 3) \cdot (\log_{1/3} 4) = (\log_2 3) \cdot (-\log_3 4) = \log_2 3 \cdot (-2\log_3 2)$. Используя свойство $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$, получаем: $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$. Тогда произведение равно $1 \cdot (-2) = -2$. Показатель степени становится: $-2 + 2,5 = 0,5$. Исходное выражение: $81^{0,5} = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: $9$.

5)

Введем переменные для упрощения: пусть $a = \log_2 14$ и $b = \log_2 56$. Тогда выражение принимает вид: $\frac{a^2 + ab - 2b^2}{a - b}$. Разложим числитель на множители как квадратный трехчлен относительно $a$: $a^2 + ab - 2b^2 = a^2 + 2ab - ab - 2b^2 = a(a+2b) - b(a+2b) = (a-b)(a+2b)$. Теперь подставим это в дробь: $\frac{(a-b)(a+2b)}{a-b} = a+2b$ (сокращение возможно, так как $a-b = \log_2 14 - \log_2 56 = \log_2 \frac{14}{56} = \log_2 \frac{1}{4} = -2 \neq 0$). Значение выражения равно $a+2b = \log_2 14 + 2\log_2 56$. Используем свойства логарифмов для вычисления этого значения: $\log_2 14 + 2\log_2 56 = \log_2 14 + \log_2 56^2 = \log_2(14 \cdot 56^2)$. Разложим числа на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$ и $56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$. $14 \cdot 56^2 = (2 \cdot 7) \cdot (2^3 \cdot 7)^2 = 2 \cdot 7 \cdot 2^6 \cdot 7^2 = 2^7 \cdot 7^3$. Таким образом, значение выражения равно $\log_2(2^7 \cdot 7^3) = \log_2 2^7 + \log_2 7^3 = 7 + 3\log_2 7$.

Ответ: $7 + 3\log_2 7$.

6)

Введем переменные: $x = \log_5 7$ и $y = \log_5 7\sqrt{5}$. Упростим $y$: $y = \log_5 7\sqrt{5} = \log_5 7 + \log_5 \sqrt{5} = x + \frac{1}{2}$. Знаменатель дроби: $\log_5 7\sqrt{5} - \log_5 49 = y - \log_5 7^2 = y - 2x$. Числитель дроби: $\log_5^2 7\sqrt{5} + 2\log_5^2 7 - 3(\log_5 7\sqrt{5})(\log_5 7) = y^2 + 2x^2 - 3yx$. Переставим члены в числителе для удобства: $y^2 - 3xy + 2x^2$. Разложим числитель на множители как квадратный трехчлен относительно $y$: $y^2 - 3xy + 2x^2 = (y-x)(y-2x)$. Теперь всё выражение имеет вид: $\frac{(y-x)(y-2x)}{y-2x} = y-x$. Сокращение возможно, если $y-2x \neq 0$: $y-2x = (x + \frac{1}{2}) - 2x = \frac{1}{2} - x = \frac{1}{2} - \log_5 7 \neq 0$. Значение выражения равно $y-x = (x + \frac{1}{2}) - x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0,5$.

7)

Введем переменные: $a = \log_4 12$ и $b = \log_4 \frac{1}{3}$. Выражение принимает вид: $\frac{a^2 + 3b^2 + 4ab}{a+3b}$. Переставим члены в числителе: $a^2 + 4ab + 3b^2$. Разложим числитель на множители как квадратный трехчлен относительно $a$: $a^2 + 4ab + 3b^2 = (a+b)(a+3b)$. Подставим в дробь: $\frac{(a+b)(a+3b)}{a+3b} = a+b$. Сокращение возможно, так как $a+3b = \log_4 12 + 3\log_4 \frac{1}{3} = \log_4 12 + \log_4 (\frac{1}{3})^3 = \log_4(12 \cdot \frac{1}{27}) = \log_4 \frac{4}{9} \neq 0$. Значение выражения равно $a+b = \log_4 12 + \log_4 \frac{1}{3}$. Используя свойство суммы логарифмов, получаем: $a+b = \log_4(12 \cdot \frac{1}{3}) = \log_4 4 = 1$.

Ответ: $1$.

8)

Введем переменные: $a = \log_2 3$ и $b = \log_2 12$. Выражение принимает вид: $\frac{2a^2 - b^2 - ab}{2a+b}$. Переставим члены в числителе: $2a^2 - ab - b^2$. Разложим числитель на множители как квадратный трехчлен относительно $a$: $2a^2 - ab - b^2 = (2a+b)(a-b)$. Подставим в дробь: $\frac{(2a+b)(a-b)}{2a+b} = a-b$. Сокращение возможно, так как $2a+b = 2\log_2 3 + \log_2 12 = \log_2 3^2 + \log_2 12 = \log_2(9 \cdot 12) = \log_2 108 \neq 0$. Значение выражения равно $a-b = \log_2 3 - \log_2 12$. Используя свойство разности логарифмов, получаем: $a-b = \log_2(\frac{3}{12}) = \log_2(\frac{1}{4}) = \log_2(2^{-2}) = -2$.

Ответ: $-2$.

20.27. 1) $27^{\log_{\sqrt{3}} \frac{6}{\sqrt{3}}} + 4 \cdot 5^{\log_{0,01} 9} - 2^{\log_8 125} \cdot \log_{32} 16;$

2) $7^{\frac{2}{\log_2 7}} \cdot 4^{\log_4 6} + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log_4 6}} + (\sqrt[3]{5})^{\log_5 27};$

3) $\left(3^{\log_{\sqrt{3}} 2} - 4^{\log_{\sqrt{3}} 2}\right)^2 - 3^{\frac{1}{\log_5 3}};$

4) $\left(3^{\frac{\log_3 5}{\log_5 3}} - 5^{\frac{1}{\log_5 3}} + 0,008^{\log_{313} 19}\right)^{\frac{1}{2}};$

5) $\left(2^{\frac{\log_2 5}{\log_5 2}} - 5^{\frac{1}{\log_5 2}} + 5^{\log_5 25}\right)^{\frac{1}{2}}.$

1) $27^{\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{3}} + 4 \cdot 5^{\log_{0,01} 9} - 2^{\log_8 125} \cdot \log_{32} 16$

Решение:

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

1. Первое слагаемое: $27^{\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{3}}$.

Упростим показатель степени: $\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{3} = \log_{3^{1/2}} 3^{1/6}$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем:$\frac{1/6}{1/2}\log_3 3 = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3}$.

Тогда первое слагаемое равно $27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3$.

2. Третье слагаемое: $2^{\log_8 125} \cdot \log_{32} 16$.

Упростим первый множитель: $2^{\log_8 125} = 2^{\log_{2^3} 5^3} = 2^{\frac{3}{3}\log_2 5} = 2^{\log_2 5} = 5$.

Упростим второй множитель: $\log_{32} 16 = \log_{2^5} 2^4 = \frac{4}{5}\log_2 2 = \frac{4}{5}$.

Произведение равно $5 \cdot \frac{4}{5} = 4$.

3. Второе слагаемое: $4 \cdot 5^{\log_{0,01} 9}$.

Упростим показатель степени: $\log_{0,01} 9 = \log_{10^{-2}} 3^2 = \frac{2}{-2}\log_{10} 3 = -\log_{10} 3$.

Выражение принимает вид $4 \cdot 5^{-\log_{10} 3}$, которое не упрощается до рационального числа. Вероятно, в условии задачи опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в основании логарифма. Если бы основание было $0,04 = 1/25$, то:$\log_{0,04} 9 = \log_{1/25} 9 = \log_{5^{-2}} 3^2 = \frac{2}{-2}\log_5 3 = -\log_5 3$.

Тогда второе слагаемое: $4 \cdot 5^{-\log_5 3} = 4 \cdot 5^{\log_5 3^{-1}} = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

4. Соберем все вместе, предполагая опечатку: $3 + \frac{4}{3} - 4 = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$ (в предположении, что основание логарифма во втором слагаемом равно 0,04, а не 0,01).

2) $7^{\frac{2}{\log_2 7}} \cdot 4^{\log_4 6} + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log_4 6}} + (\sqrt[3]{5})^{\log_5 27}$

Решение:

Вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства логарифмов $a^{\log_a b}=b$ и $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.

1. Первое слагаемое: $7^{\frac{2}{\log_2 7}} \cdot 4^{\log_4 6}$.

$7^{\frac{2}{\log_2 7}} = 7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4} = 4$.

$4^{\log_4 6} = 6$.

Произведение равно $4 \cdot 6 = 24$.

2. Второе слагаемое: $4 \cdot 6^{\frac{1}{\log_4 6}}$.

$6^{\frac{1}{\log_4 6}} = 6^{\log_6 4} = 4$.

Слагаемое равно $4 \cdot 4 = 16$.

3. Третье слагаемое: $(\sqrt[3]{5})^{\log_5 27}$.

$(\sqrt[3]{5})^{\log_5 27} = (5^{1/3})^{\log_5 3^3} = (5^{1/3})^{3\log_5 3} = 5^{\frac{1}{3} \cdot 3\log_5 3} = 5^{\log_5 3} = 3$.

4. Сложим полученные результаты: $24 + 16 + 3 = 43$.

Ответ: 43

3) $(3^{\log_2 \sqrt{3}} - 4^{\log_2 \sqrt{3}})^2 - 3^{\frac{1}{\log_5 3}}$

Решение:

Выражение в текущем виде не упрощается до рационального числа. Вероятно, в условии задачи опечатка. Распространенный вариант подобной задачи предполагает, что основание первого члена в скобках равно 16, а не 3. Решим задачу с этим исправлением.

$(16^{\log_2 \sqrt{3}} - 4^{\log_2 \sqrt{3}})^2 - 3^{\frac{1}{\log_5 3}}$

1. Упростим выражение в скобках.

$16^{\log_2 \sqrt{3}} = (2^4)^{\log_2 3^{1/2}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{2}\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 3^2} = 2^{\log_2 9} = 9$.

$4^{\log_2 \sqrt{3}} = (2^2)^{\log_2 3^{1/2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_2 3} = 2^{\log_2 3} = 3$.

Выражение в скобках равно $9 - 3 = 6$.

2. Возведем в квадрат: $6^2 = 36$.

3. Упростим вычитаемое: $3^{\frac{1}{\log_5 3}} = 3^{\log_3 5} = 5$.

4. Выполним вычитание: $36 - 5 = 31$.

Ответ: 31 (в предположении, что первое число в скобках — 16, а не 3).

4) $(3^{\frac{\log_3 5}{\log_5 3}} - 5^{\frac{1}{\log_5 3}} + 0,008^{\log_{313} 49})^{\frac{1}{2}}$

Решение:

1. Упростим выражение в скобках.

Первый член: $3^{\frac{\log_3 5}{\log_5 3}}$. Используя свойство $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, преобразуем знаменатель показателя: $\log_5 3 = \frac{1}{\log_3 5}$.

Показатель становится: $\frac{\log_3 5}{1/\log_3 5} = (\log_3 5)^2$.

Первый член равен $3^{(\log_3 5)^2} = (3^{\log_3 5})^{\log_3 5} = 5^{\log_3 5}$.

Второй член: $5^{\frac{1}{\log_5 3}} = 5^{\log_3 5}$.

Разность первого и второго членов: $5^{\log_3 5} - 5^{\log_3 5} = 0$.

2. Третий член: $0,008^{\log_{313} 49}$.

Основание $0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = 5^{-3}$.

Основание логарифма $313$ является простым числом, что делает вычисление невозможным без калькулятора. Вероятно, это опечатка, и имелось в виду число $343 = 7^3$. Примем это допущение.

$\log_{343} 49 = \log_{7^3} 7^2 = \frac{2}{3}$.

Тогда третий член равен $(5^{-3})^{2/3} = 5^{-3 \cdot 2/3} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$.

3. Выражение в скобках равно $0 + \frac{1}{25} = \frac{1}{25}$.

4. Извлечем квадратный корень: $(\frac{1}{25})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$ (в предположении, что основание логарифма в третьем слагаемом равно 343, а не 313).

5) $(2^{\frac{\log_2 5}{\log_5 2}} - 5^{\frac{1}{\log_5 2}} + 5^{\log_5 25})^{\frac{1}{2}}$

Решение:

1. Упростим выражение в скобках.

Первый член: $2^{\frac{\log_2 5}{\log_5 2}}$. Используя свойство $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, преобразуем знаменатель показателя: $\log_5 2 = \frac{1}{\log_2 5}$.

Показатель становится: $\frac{\log_2 5}{1/\log_2 5} = (\log_2 5)^2$.

Первый член равен $2^{(\log_2 5)^2} = (2^{\log_2 5})^{\log_2 5} = 5^{\log_2 5}$.

Второй член: $5^{\frac{1}{\log_5 2}} = 5^{\log_2 5}$.

Разность первого и второго членов: $5^{\log_2 5} - 5^{\log_2 5} = 0$.

2. Третий член: $5^{\log_5 25}$.

$\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$.

Третий член равен $5^2 = 25$.

3. Выражение в скобках равно $0 + 25 = 25$.

4. Извлечем квадратный корень: $(25)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5