Номер 20.23, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.23. Между какими отрицательными целыми числами заключаются

логарифмы чисел:

1) 0,07; 0,018; 0,00125; 0,00005 — по основанию 10;

2) $\frac{1}{15}$; $\frac{3}{80}$; $\frac{1}{120}$ — по основанию 2?

1) Чтобы определить, между какими двумя последовательными отрицательными целыми числами $n$ и $n+1$ находится десятичный логарифм числа $x$ (то есть, логарифм по основанию 10), необходимо найти такое целое $n$, для которого выполняется неравенство $n < \lg(x) < n+1$. Так как логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, это неравенство эквивалентно неравенству $10^n < x < 10^{n+1}$.

Рассмотрим число 0,07.

Сравним его со степенями 10: $0,01 < 0,07 < 0,1$.

В виде степеней это записывается как $10^{-2} < 0,07 < 10^{-1}$.

Применяя логарифм по основанию 10 ко всем частям неравенства, получаем: $\lg(10^{-2}) < \lg(0,07) < \lg(10^{-1})$.

Отсюда следует, что $-2 < \lg(0,07) < -1$.

Таким образом, логарифм числа 0,07 заключен между числами -2 и -1.

Рассмотрим число 0,018.

Сравним его со степенями 10: $0,01 < 0,018 < 0,1$.

В виде степеней это записывается как $10^{-2} < 0,018 < 10^{-1}$.

Применяя логарифм по основанию 10, получаем: $\lg(10^{-2}) < \lg(0,018) < \lg(10^{-1})$.

Отсюда следует, что $-2 < \lg(0,018) < -1$.

Таким образом, логарифм числа 0,018 заключен между числами -2 и -1.

Рассмотрим число 0,00125.

Сравним его со степенями 10: $0,001 < 0,00125 < 0,01$.

В виде степеней это записывается как $10^{-3} < 0,00125 < 10^{-2}$.

Применяя логарифм по основанию 10, получаем: $\lg(10^{-3}) < \lg(0,00125) < \lg(10^{-2})$.

Отсюда следует, что $-3 < \lg(0,00125) < -2$.

Таким образом, логарифм числа 0,00125 заключен между числами -3 и -2.

Рассмотрим число 0,00005.

Сравним его со степенями 10: $0,00001 < 0,00005 < 0,0001$.

В виде степеней это записывается как $10^{-5} < 0,00005 < 10^{-4}$.

Применяя логарифм по основанию 10, получаем: $\lg(10^{-5}) < \lg(0,00005) < \lg(10^{-4})$.

Отсюда следует, что $-5 < \lg(0,00005) < -4$.

Таким образом, логарифм числа 0,00005 заключен между числами -5 и -4.

Ответ: $\lg(0,07)$ и $\lg(0,018)$ заключены между -2 и -1; $\lg(0,00125)$ заключен между -3 и -2; $\lg(0,00005)$ заключен между -5 и -4.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными отрицательными целыми числами $n$ и $n+1$ находится логарифм числа $x$ по основанию 2, необходимо найти такое целое $n$, для которого выполняется неравенство $n < \log_2(x) < n+1$. Так как логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, это неравенство эквивалентно неравенству $2^n < x < 2^{n+1}$.

Рассмотрим число $\frac{1}{15}$.

Найдем степени 2, между которыми находится это число. Для этого сравним знаменатели: $8 < 15 < 16$.

Перевернув дроби, получим: $\frac{1}{16} < \frac{1}{15} < \frac{1}{8}$.

В виде степеней это записывается как $2^{-4} < \frac{1}{15} < 2^{-3}$.

Применяя логарифм по основанию 2 ко всем частям неравенства, получаем: $\log_2(2^{-4}) < \log_2(\frac{1}{15}) < \log_2(2^{-3})$.

Отсюда следует, что $-4 < \log_2(\frac{1}{15}) < -3$.

Таким образом, логарифм числа $\frac{1}{15}$ заключен между числами -4 и -3.

Рассмотрим число $\frac{3}{80}$.

Найдем степени 2, между которыми находится это число. Сравним его со степенями двойки: $2^{-5} = \frac{1}{32}$ и $2^{-4} = \frac{1}{16}$.

Приведем дроби к общему знаменателю для сравнения: $\frac{3}{80}$ и $\frac{1}{32} = \frac{2.5}{80}$. Так как $2.5 < 3$, то $\frac{1}{32} < \frac{3}{80}$.

Сравним $\frac{3}{80}$ и $\frac{1}{16} = \frac{5}{80}$. Так как $3 < 5$, то $\frac{3}{80} < \frac{1}{16}$.

Получаем неравенство: $\frac{1}{32} < \frac{3}{80} < \frac{1}{16}$, или $2^{-5} < \frac{3}{80} < 2^{-4}$.

Применяя логарифм по основанию 2, получаем: $\log_2(2^{-5}) < \log_2(\frac{3}{80}) < \log_2(2^{-4})$.

Отсюда следует, что $-5 < \log_2(\frac{3}{80}) < -4$.

Таким образом, логарифм числа $\frac{3}{80}$ заключен между числами -5 и -4.

Рассмотрим число $\frac{1}{120}$.

Найдем степени 2, между которыми находится это число. Сравним знаменатели: $64 < 120 < 128$.

Перевернув дроби, получим: $\frac{1}{128} < \frac{1}{120} < \frac{1}{64}$.

В виде степеней это записывается как $2^{-7} < \frac{1}{120} < 2^{-6}$.

Применяя логарифм по основанию 2, получаем: $\log_2(2^{-7}) < \log_2(\frac{1}{120}) < \log_2(2^{-6})$.

Отсюда следует, что $-7 < \log_2(\frac{1}{120}) < -6$.

Таким образом, логарифм числа $\frac{1}{120}$ заключен между числами -7 и -6.

Ответ: $\log_2(\frac{1}{15})$ заключен между -4 и -3; $\log_2(\frac{3}{80})$ заключен между -5 и -4; $\log_2(\frac{1}{120})$ заключен между -7 и -6.