Номер 20.20, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Вычислите (20.20–20.21):

20.20. 1) $343^{2\log_{49}2}$; 2) $4^{2\log_{32}10}$; 3) $(\sqrt{5})^{2\log_5 3}$;

4) $9^{\log_{27}\sqrt{5}}$; 5) $(\frac{1}{27})^{\log_{\frac{1}{9}}4}$; 6) $4^{\log_8 125}$.

1) Чтобы вычислить $343^{2\log_{49}2}$, представим основания $343$ и $49$ в виде степеней числа $7$: $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$. Выражение принимает вид: $(7^3)^{2\log_{7^2}2}$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $7^{3 \cdot 2\log_{7^2}2} = 7^{6\log_{7^2}2}$. Далее применим свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$: $7^{6 \cdot \frac{1}{2}\log_7 2} = 7^{3\log_7 2}$. Используя свойство $n\log_a b = \log_a b^n$, получаем: $7^{\log_7 2^3} = 7^{\log_7 8}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, окончательно получаем: $7^{\log_7 8} = 8$. Ответ: 8.

2) Для вычисления $4^{2\log_{32}10}$ представим основания $4$ и $32$ в виде степеней числа $2$: $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$. Выражение становится: $(2^2)^{2\log_{2^5}10}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{2 \cdot 2\log_{2^5}10} = 2^{4\log_{2^5}10}$. Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$: $2^{4 \cdot \frac{1}{5}\log_2 10} = 2^{\frac{4}{5}\log_2 10}$. Применяем свойство $n\log_a b = \log_a b^n$: $2^{\log_2 (10^{4/5})}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $10^{4/5}$. Это значение можно также записать в виде корня: $\sqrt[5]{10^4}$ или $\sqrt[5]{10000}$. Ответ: $10^{4/5}$.

3) Вычислим $\sqrt{5}^{2\log_5 3}$. Представим $\sqrt{5}$ как $5^{1/2}$: $(5^{1/2})^{2\log_5 3}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{\frac{1}{2} \cdot 2\log_5 3} = 5^{\log_5 3}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем: $5^{\log_5 3} = 3$. Ответ: 3.

4) Для вычисления $9^{\log_{27} \sqrt{5}}$ представим основания $9$ и $27$ в виде степеней числа $3$: $9=3^2$, $27=3^3$. Также представим $\sqrt{5}$ как $5^{1/2}$. Выражение принимает вид: $(3^2)^{\log_{3^3} 5^{1/2}}$. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $3^{2 \cdot \log_{3^3} 5^{1/2}}$. Применим свойство логарифма $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$: $3^{2 \cdot \frac{1/2}{3}\log_3 5} = 3^{2 \cdot \frac{1}{6}\log_3 5} = 3^{\frac{1}{3}\log_3 5}$. Используем свойство $n\log_a b = \log_a b^n$: $3^{\log_3 (5^{1/3})}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $5^{1/3}$, что равно $\sqrt[3]{5}$. Ответ: $\sqrt[3]{5}$.

5) Вычислим $(\frac{1}{27})^{\log_{\frac{1}{9}} 4}$. Представим основания $\frac{1}{27}$ и $\frac{1}{9}$ в виде степеней числа $3$: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ и $\frac{1}{9} = 3^{-2}$. Выражение принимает вид: $(3^{-3})^{\log_{3^{-2}} 4}$. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $3^{-3 \cdot \log_{3^{-2}} 4}$. Применим свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$: $3^{-3 \cdot \frac{1}{-2}\log_3 4} = 3^{\frac{3}{2}\log_3 4}$. Используем свойство $n\log_a b = \log_a b^n$: $3^{\log_3 (4^{3/2})}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $4^{3/2}$. Вычисляем значение: $4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$. Ответ: 8.

6) Для вычисления $4^{\log_8 125}$ представим основания $4$ и $8$ в виде степеней числа $2$: $4 = 2^2$, $8=2^3$. Также представим $125$ как $5^3$. Выражение принимает вид: $(2^2)^{\log_{2^3} 5^3}$. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{2 \cdot \log_{2^3} 5^3}$. Применим свойство логарифма $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$: $2^{2 \cdot \frac{3}{3}\log_2 5} = 2^{2\log_2 5}$. Используем свойство $n\log_a b = \log_a b^n$: $2^{\log_2 5^2} = 2^{\log_2 25}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $25$. Ответ: 25.