Номер 20.25, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.25. Показать в общем виде, что если числа образуют геометрическую прогрессию с положительными членами, то логарифмы этих чисел образуют арифметическую прогрессию.

Пусть дана последовательность чисел $b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n, \ldots$, которая является геометрической прогрессией с положительными членами.Это означает, что существует первый член $b_1 > 0$ и знаменатель прогрессии $q > 0$ такие, что каждый следующий член получается из предыдущего умножением на $q$.

Формула $n$-го члена такой геометрической прогрессии имеет вид:$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Рассмотрим последовательность $a_n$, члены которой являются логарифмами соответствующих членов прогрессии $b_n$ по произвольному основанию $c$ (где $c > 0$ и $c \neq 1$). Так как все $b_n > 0$, их логарифмы существуют.$a_n = \log_c(b_n)$

Подставим в это выражение формулу для $b_n$:$a_n = \log_c(b_1 \cdot q^{n-1})$

Воспользуемся свойствами логарифмов: логарифм произведения равен сумме логарифмов $\log_c(xy) = \log_c(x) + \log_c(y)$, и логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания $\log_c(x^k) = k \cdot \log_c(x)$.Применим эти свойства к нашему выражению:$a_n = \log_c(b_1) + \log_c(q^{n-1})$$a_n = \log_c(b_1) + (n-1) \cdot \log_c(q)$

Полученное выражение имеет вид формулы $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.Чтобы строго доказать, что последовательность $a_n$ является арифметической, нужно показать, что разность между любым её членом и предыдущим постоянна. Найдем эту разность $a_{n+1} - a_n$.

Сначала найдем $(n+1)$-й член последовательности $a_{n+1}$:$a_{n+1} = \log_c(b_1) + ((n+1)-1) \cdot \log_c(q) = \log_c(b_1) + n \cdot \log_c(q)$

Теперь вычислим разность:$a_{n+1} - a_n = (\log_c(b_1) + n \cdot \log_c(q)) - (\log_c(b_1) + (n-1) \cdot \log_c(q))$$a_{n+1} - a_n = \log_c(b_1) - \log_c(b_1) + n \cdot \log_c(q) - (n-1) \cdot \log_c(q)$$a_{n+1} - a_n = (n - (n-1)) \cdot \log_c(q)$$a_{n+1} - a_n = (n - n + 1) \cdot \log_c(q) = \log_c(q)$

Разность между соседними членами последовательности $a_n$ является постоянной величиной, равной $\log_c(q)$. Это по определению означает, что последовательность $a_n$ является арифметической прогрессией.Первый член этой арифметической прогрессии равен $a_1 = \log_c(b_1)$, а её разность $d = \log_c(q)$.

Таким образом, мы показали, что логарифмы членов геометрической прогрессии с положительными членами образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: Утверждение доказано. Если $b_n$ — геометрическая прогрессия с $b_1 > 0$ и $q > 0$, то последовательность $a_n = \log_c(b_n)$ является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = \log_c(b_1)$ и разностью $d = \log_c(q)$.