Номер 20.31, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.31. Решите неравенство $f'(x) < 0$, если:

1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5;$

2) $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x;$

3) $f(x) = x - 2\sin x.$

1) Для функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ найдем ее производную. Используя правила дифференцирования, получаем: $f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 5)' = 3x^2 - 12x$. Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$, что эквивалентно неравенству $3x^2 - 12x < 0$. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x(x - 4) < 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $3x(x - 4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $y = 3x^2 - 12x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$). Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между ее корнями. Таким образом, решением неравенства является интервал $(0, 4)$.

Ответ: $x \in (0, 4)$.

2) Для функции $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$ найдем ее производную: $f'(x) = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$. Решим неравенство $f'(x) < 0$, то есть $3x^2 + 12x + 9 < 0$. Разделим обе части неравенства на 3 (так как 3 > 0, знак неравенства не изменится): $x^2 + 4x + 3 < 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x + 3 = 0$. С помощью теоремы Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$. Графиком функции $y = x^2 + 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это означает, что неравенство $x^2 + 4x + 3 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-3, -1)$.

Ответ: $x \in (-3, -1)$.

3) Для функции $f(x) = x - 2\sin x$ найдем ее производную: $f'(x) = (x - 2\sin x)' = 1 - 2\cos x$. Решим неравенство $f'(x) < 0$, то есть $1 - 2\cos x < 0$. Перенесем 1 в правую часть: $-2\cos x < -1$. Разделим обе части на -2, при этом изменим знак неравенства на противоположный: $\cos x > \frac{1}{2}$. Решим это тригонометрическое неравенство. На единичной окружности значения косинуса, большие $\frac{1}{2}$, соответствуют углам, лежащим в интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$. Учитывая периодичность функции косинус, период которой равен $2\pi$, общее решение неравенства можно записать в виде: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.