Страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.28. 1) $(\log_3 2 + \log_2 81 + 4) (\log_3 2 - 2\log_{18} 2) \log_2 3 - \log_3 2;$

2) $(\log_2 7 + \log_7 16 + 4) (\log_2 7 - 2\log_{28} 7) \log_7 2 - \log_2 7;$

3) $(\log_6 3 + \log_3 1296 + 4) (\log_6 3 - \log_{108} 9) \log_3 6 - \log_6 3;$

4) $(\log_5 7 + 9 \log_7 5 + 6) (\log_5 7 - 3\log_{875} 7) \log_7 5 - \log_5 7;$

5) $(\log_2 5 + 16\log_5 2 + 8) (\log_2 5 - 4\log_{80} 5) \log_5 2 - \log_2 5;$

6) $(\log_4 6 + \log_6 4 + 2) (\log_4 6 - \log_{24} 6) \log_6 4 - \log_4 6.$

1) Данное выражение: $(\log_3 2 + \log_2 81 + 4)(\log_3 2 - 2\log_{18} 2)\log_2 3 - \log_3 2$.

Для упрощения введем замену: пусть $\log_3 2 = x$. Тогда, используя свойство $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, получаем $\log_2 3 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем остальные логарифмы в выражении:

$\log_2 81 = \log_2 3^4 = 4\log_2 3 = 4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}$.

$2\log_{18} 2 = 2 \cdot \frac{\log_3 2}{\log_3 18} = 2 \cdot \frac{x}{\log_3 (9 \cdot 2)} = 2 \cdot \frac{x}{\log_3 3^2 + \log_3 2} = \frac{2x}{2 + x}$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x + \frac{4}{x} + 4)(x - \frac{2x}{x+2})\frac{1}{x} - x$.

Упростим каждую скобку:

Первая скобка: $x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4 + 4x}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.

Вторая скобка: $x - \frac{2x}{x+2} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2 + 2x - 2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.

Теперь подставим упрощенные скобки обратно в выражение:

$\frac{(x+2)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+2} \cdot \frac{1}{x} - x = \frac{(x+2)^2 \cdot x^2}{x \cdot (x+2) \cdot x} - x$.

Сокращаем дроби: $(x+2) - x = 2$.

Ответ: 2

2) Данное выражение: $(\log_2 7 + \log_7 16 + 4)(\log_2 7 - 2\log_{28} 7)\log_7 2 - \log_2 7$.

Пусть $\log_2 7 = x$. Тогда $\log_7 2 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем остальные логарифмы:

$\log_7 16 = \log_7 2^4 = 4\log_7 2 = \frac{4}{x}$.

$2\log_{28} 7 = 2 \cdot \frac{\log_2 7}{\log_2 28} = 2 \cdot \frac{x}{\log_2 (4 \cdot 7)} = 2 \cdot \frac{x}{\log_2 2^2 + \log_2 7} = \frac{2x}{2 + x}$.

Подставим в исходное выражение:

$(x + \frac{4}{x} + 4)(x - \frac{2x}{x+2})\frac{1}{x} - x$.

Упростим скобки:

$x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4 + 4x}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.

$x - \frac{2x}{x+2} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.

Подставим обратно и вычислим:

$\frac{(x+2)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+2} \cdot \frac{1}{x} - x = \frac{(x+2)^2 \cdot x^2}{x \cdot (x+2) \cdot x} - x = (x+2) - x = 2$.

Ответ: 2

3) Данное выражение: $(\log_6 3 + \log_3 1296 + 4)(\log_6 3 - \log_{108} 9)\log_3 6 - \log_6 3$.

Пусть $\log_6 3 = x$. Тогда $\log_3 6 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем логарифмы:

$\log_3 1296 = \log_3 6^4 = 4\log_3 6 = \frac{4}{x}$.

$\log_{108} 9 = \frac{\log_6 9}{\log_6 108} = \frac{\log_6 3^2}{\log_6 (36 \cdot 3)} = \frac{2\log_6 3}{\log_6 6^2 + \log_6 3} = \frac{2x}{2 + x}$.

Подставим в исходное выражение:

$(x + \frac{4}{x} + 4)(x - \frac{2x}{x+2})\frac{1}{x} - x$.

Это выражение полностью аналогично предыдущим задачам.

$x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4x + 4}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.

$x - \frac{2x}{x+2} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.

$\frac{(x+2)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+2} \cdot \frac{1}{x} - x = (x+2) - x = 2$.

Ответ: 2

4) Данное выражение: $(\log_5 7 + 9\log_7 5 + 6)(\log_5 7 - 3\log_{875} 7)\log_7 5 - \log_5 7$.

Пусть $\log_5 7 = x$. Тогда $\log_7 5 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем логарифмы:

$9\log_7 5 = \frac{9}{x}$.

$3\log_{875} 7 = 3 \cdot \frac{\log_5 7}{\log_5 875} = 3 \cdot \frac{x}{\log_5 (125 \cdot 7)} = 3 \cdot \frac{x}{\log_5 5^3 + \log_5 7} = \frac{3x}{3 + x}$.

Подставим в исходное выражение:

$(x + \frac{9}{x} + 6)(x - \frac{3x}{x+3})\frac{1}{x} - x$.

Упростим скобки:

$x + \frac{9}{x} + 6 = \frac{x^2 + 9 + 6x}{x} = \frac{(x+3)^2}{x}$.

$x - \frac{3x}{x+3} = \frac{x(x+3) - 3x}{x+3} = \frac{x^2 + 3x - 3x}{x+3} = \frac{x^2}{x+3}$.

Подставим обратно и вычислим:

$\frac{(x+3)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+3} \cdot \frac{1}{x} - x = \frac{(x+3)^2 \cdot x^2}{x \cdot (x+3) \cdot x} - x = (x+3) - x = 3$.

Ответ: 3

5) Данное выражение: $(\log_2 5 + 16\log_5 2 + 8)(\log_2 5 - 4\log_{80} 5)\log_5 2 - \log_2 5$.

Пусть $\log_2 5 = x$. Тогда $\log_5 2 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем логарифмы:

$16\log_5 2 = \frac{16}{x}$.

$4\log_{80} 5 = 4 \cdot \frac{\log_2 5}{\log_2 80} = 4 \cdot \frac{x}{\log_2 (16 \cdot 5)} = 4 \cdot \frac{x}{\log_2 2^4 + \log_2 5} = \frac{4x}{4 + x}$.

Подставим в исходное выражение:

$(x + \frac{16}{x} + 8)(x - \frac{4x}{x+4})\frac{1}{x} - x$.

Упростим скобки:

$x + \frac{16}{x} + 8 = \frac{x^2 + 16 + 8x}{x} = \frac{(x+4)^2}{x}$.

$x - \frac{4x}{x+4} = \frac{x(x+4) - 4x}{x+4} = \frac{x^2 + 4x - 4x}{x+4} = \frac{x^2}{x+4}$.

Подставим обратно и вычислим:

$\frac{(x+4)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+4} \cdot \frac{1}{x} - x = \frac{(x+4)^2 \cdot x^2}{x \cdot (x+4) \cdot x} - x = (x+4) - x = 4$.

Ответ: 4

6) Данное выражение: $(\log_4 6 + \log_6 4 + 2)(\log_4 6 - \log_{24} 6)\log_6 4 - \log_4 6$.

Пусть $\log_4 6 = x$. Тогда $\log_6 4 = \frac{1}{x}$.

Преобразуем логарифмы:

$\log_{24} 6 = \frac{\log_4 6}{\log_4 24} = \frac{x}{\log_4 (4 \cdot 6)} = \frac{x}{\log_4 4 + \log_4 6} = \frac{x}{1 + x}$.

Подставим в исходное выражение:

$(x + \frac{1}{x} + 2)(x - \frac{x}{x+1})\frac{1}{x} - x$.

Упростим скобки:

$x + \frac{1}{x} + 2 = \frac{x^2 + 1 + 2x}{x} = \frac{(x+1)^2}{x}$.

$x - \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1) - x}{x+1} = \frac{x^2 + x - x}{x+1} = \frac{x^2}{x+1}$.

Подставим обратно и вычислим:

$\frac{(x+1)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x+1} \cdot \frac{1}{x} - x = \frac{(x+1)^2 \cdot x^2}{x \cdot (x+1) \cdot x} - x = (x+1) - x = 1$.

Ответ: 1

20.29. 1) Подготовьте сообщение об истории развития понятия логарифма числа.

2) Подготовьте сообщение об ученом-математике Джоне Непере и его “удивительной таблице логарифмов”.

Дж. Непер
(1550—1617)

1) Подготовьте сообщение об истории развития понятия логарифма числа.

Идея логарифма возникла в XVI веке в ответ на острую потребность в упрощении сложных вычислений, особенно в астрономии, навигации и инженерном деле. Умножение и деление многозначных чисел, возведение в степень и извлечение корня были чрезвычайно трудоемкими операциями. Основная идея логарифмирования заключается в том, чтобы заменить более сложные операции умножения и деления на более простые — сложение и вычитание. Эта идея основана на сопоставлении арифметической и геометрической прогрессий. Если имеется геометрическая прогрессия $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и соответствующая ей арифметическая прогрессия показателей степени $n-1$, то произведению двух членов геометрической прогрессии будет соответствовать сумма членов арифметической прогрессии.

Предшественниками создателей логарифмов можно считать Архимеда, который еще в III веке до н.э. сопоставлял члены арифметической и геометрической прогрессий, а также немецкого математика Михаэля Штифеля, который в своей книге «Arithmetica integra» (1544) сформулировал правила, аналогичные логарифмическим, но не создал законченной теории и таблиц.

Честь изобретения логарифмов принадлежит шотландскому математику Джону Неперу (1550–1617). После почти 20 лет работы он в 1614 году опубликовал труд под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). Непер подошел к определению логарифма с кинематической точки зрения, рассматривая движение двух точек. Сам термин «логарифм» был введен Непером и происходит от греческих слов λόγος (логос — «отношение») и ἀριθμός (аритмос — «число»). Логарифмы Непера не имели основания в современном понимании, но были связаны с числом, которое позже назовут «е».

Почти одновременно и независимо от Непера к идее логарифмов пришел швейцарский математик и механик Йост Бюрги (1552–1632). Он составил свои таблицы, вероятно, даже раньше Непера, но опубликовал их лишь в 1620 году, из-за чего приоритет остался за Непером.

Огромный вклад в развитие логарифмов внес английский профессор математики Генри Бригс (1561–1630). Вдохновленный работой Непера, он встретился с ним и предложил усовершенствовать систему, взяв за основание число 10, что было гораздо удобнее для практических вычислений. Так появились десятичные, или «обыкновенные», логарифмы. Непер согласился с идеей, но из-за преклонного возраста не мог взяться за пересчет таблиц. Эту колоссальную работу выполнил Бригс, опубликовав в 1624 году труд «Логарифмическая арифметика» (Arithmetica Logarithmica) с таблицами десятичных логарифмов.

Современное определение логарифма как показателя степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число ($x = \log_a b \iff a^x = b$), было сформулировано в XVIII веке Леонардом Эйлером (1707–1783). Он же ввел понятие «основание логарифма» и обозначение $e$ для основания натуральных логарифмов. Изобретение логарифмов стало настоящей революцией в вычислительной математике. По словам французского ученого П.С. Лапласа, оно «упростив труд астронома, продлило ему жизнь».

Ответ:

2) Подготовьте сообщение об ученом-математике Джоне Непере и его “удивительной таблице логарифмов”.

Джон Непер (John Napier, 1550–1617) — выдающийся шотландский математик, физик, астроном и богослов, 8-й лэрд (землевладелец) Мерчистона. Хотя он не был профессиональным математиком в современном смысле, его изобретение логарифмов навсегда вписало его имя в историю науки. Непер был глубоко верующим протестантом и уделял много времени богословским трудам, но главным делом его жизни стала разработка метода, упрощающего вычисления.

Основной мотивацией для Непера была необходимость облегчить громоздкие расчеты, которые требовались в астрономии и навигации. В течение примерно двадцати лет он работал над созданием своей системы. Результатом этой работы стал опубликованный в 1614 году трактат на латинском языке «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio», что переводится как «Описание удивительной таблицы логарифмов».

«Удивительной» эта таблица была названа неслучайно. Она позволяла свести трудоемкие операции умножения, деления и извлечения корней к простым операциям сложения, вычитания и деления. Это было настоящим чудом для ученых того времени. Например, великий астроном Иоганн Кеплер, который тратил годы на расчеты орбит планет, был в восторге от изобретения Непера и активно использовал его таблицы для подтверждения своих законов движения планет.

Определение логарифма у Непера было сложным и основывалось на кинематической модели. Он представлял себе две точки, движущиеся по двум параллельным прямым. Одна точка двигалась равномерно (ее пройденный путь соответствовал арифметической прогрессии), а вторая — с переменной скоростью, пропорциональной оставшемуся пути (геометрическая прогрессия). Логарифмом числа (оставшегося пути второй точки) Непер называл путь, пройденный первой точкой. Его логарифмы не имели основания в современном понимании, но были связаны с величиной, близкой к $1/e$. Формула, лежащая в основе его таблиц, выглядела так: $N = 10^7(1 - 10^{-7})^L$, где $L$ — логарифм Непера числа $N$.

Узнав об открытии Непера, лондонский профессор Генри Бригс предпринял долгое путешествие в Шотландию, чтобы встретиться с ним. В ходе их обсуждений родилась идея использовать в качестве основания логарифмов число 10. Такие логарифмы, названные десятичными, оказались намного удобнее для практического применения. Непер одобрил эту идею, но составление новых таблиц стало делом жизни Бригса, так как сам Непер скончался в 1617 году.

Помимо логарифмов, Джон Непер изобрел вычислительный прибор, известный как «палочки Непера» или «счетные палочки» (описаны в работе «Рабдология», 1617), который механизировал процесс умножения и деления. Изобретение логарифмов стало одним из важнейших достижений в истории математики, которое кардинально ускорило развитие науки и техники на столетия вперед.

Ответ:

20.30. Найдите значение углового коэффициента касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $y = x^2 - x$, $x_0 = 2;$

2) $y = \sqrt{4 - x}$, $x_0 = 3;$

3) $y = \frac{3x}{x + 1}$, $x_0 = 2.$

Значение углового коэффициента касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равно значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Для функции $y = x^2 - x$ в точке $x_0 = 2$.

Находим производную функции: $f'(x) = (x^2 - x)' = (x^2)' - (x)' = 2x - 1$.

Подставляем значение $x_0 = 2$ в производную, чтобы найти угловой коэффициент $k$: $k = f'(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$.

Ответ: $3$.

2) Для функции $y = \sqrt{4-x}$ в точке $x_0 = 3$.

Находим производную функции, используя правило для сложной функции: $f'(x) = (\sqrt{4-x})' = \frac{1}{2\sqrt{4-x}} \cdot (4-x)' = \frac{1}{2\sqrt{4-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$.

Подставляем значение $x_0 = 3$ в производную: $k = f'(3) = -\frac{1}{2\sqrt{4-3}} = -\frac{1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) Для функции $y = \frac{3x}{x+1}$ в точке $x_0 = 2$.

Находим производную функции, используя правило для частного: $f'(x) = \left(\frac{3x}{x+1}\right)' = \frac{(3x)'(x+1) - 3x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{3(x+1) - 3x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{3x + 3 - 3x}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$.

Подставляем значение $x_0 = 2$ в производную: $k = f'(2) = \frac{3}{(2+1)^2} = \frac{3}{3^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

20.31. Решите неравенство $f'(x) < 0$, если:

1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5;$

2) $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x;$

3) $f(x) = x - 2\sin x.$

1) Для функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ найдем ее производную. Используя правила дифференцирования, получаем: $f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 5)' = 3x^2 - 12x$. Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$, что эквивалентно неравенству $3x^2 - 12x < 0$. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x(x - 4) < 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $3x(x - 4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $y = 3x^2 - 12x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$). Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между ее корнями. Таким образом, решением неравенства является интервал $(0, 4)$.

Ответ: $x \in (0, 4)$.

2) Для функции $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$ найдем ее производную: $f'(x) = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$. Решим неравенство $f'(x) < 0$, то есть $3x^2 + 12x + 9 < 0$. Разделим обе части неравенства на 3 (так как 3 > 0, знак неравенства не изменится): $x^2 + 4x + 3 < 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x + 3 = 0$. С помощью теоремы Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$. Графиком функции $y = x^2 + 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это означает, что неравенство $x^2 + 4x + 3 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-3, -1)$.

Ответ: $x \in (-3, -1)$.

3) Для функции $f(x) = x - 2\sin x$ найдем ее производную: $f'(x) = (x - 2\sin x)' = 1 - 2\cos x$. Решим неравенство $f'(x) < 0$, то есть $1 - 2\cos x < 0$. Перенесем 1 в правую часть: $-2\cos x < -1$. Разделим обе части на -2, при этом изменим знак неравенства на противоположный: $\cos x > \frac{1}{2}$. Решим это тригонометрическое неравенство. На единичной окружности значения косинуса, большие $\frac{1}{2}$, соответствуют углам, лежащим в интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$. Учитывая периодичность функции косинус, период которой равен $2\pi$, общее решение неравенства можно записать в виде: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.