Страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.13. Какую числовую последовательность составляют значения логарифмической функции $y = \log_{\sqrt{2}} x$ для значений аргумента 1; 2; 4; 8; ..., образующих геометрическую прогрессию? Запишите последовательность. Сделайте вывод.

Дана логарифмическая функция $y = \log_{\sqrt{2}} x$ и последовательность значений ее аргумента: 1; 2; 4; 8; ... .

Эта последовательность аргументов $x_n$ является геометрической прогрессией, первый член которой $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 2$. Общий член этой прогрессии можно записать формулой: $x_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$.

Для того чтобы найти, какую числовую последовательность составляют значения логарифмической функции, нужно вычислить значения $y_n = \log_{\sqrt{2}} x_n$ для каждого члена последовательности $x_n$.

1. При $x_1 = 1$:

$y_1 = \log_{\sqrt{2}} 1 = 0$

2. При $x_2 = 2$:

$y_2 = \log_{\sqrt{2}} 2$. Чтобы найти это значение, решим уравнение $(\sqrt{2})^y = 2$. Так как $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, получаем $(2^{1/2})^y = 2^1$, откуда $\frac{y}{2} = 1$, следовательно $y=2$. Значит, $y_2 = 2$.

3. При $x_3 = 4$:

$y_3 = \log_{\sqrt{2}} 4$. Решим уравнение $(\sqrt{2})^y = 4$. $(2^{1/2})^y = 2^2$, откуда $\frac{y}{2} = 2$, следовательно $y=4$. Значит, $y_3 = 4$.

4. При $x_4 = 8$:

$y_4 = \log_{\sqrt{2}} 8$. Решим уравнение $(\sqrt{2})^y = 8$. $(2^{1/2})^y = 2^3$, откуда $\frac{y}{2} = 3$, следовательно $y=6$. Значит, $y_4 = 6$.

Запишите последовательность.

В результате вычислений мы получили следующую числовую последовательность значений функции: 0; 2; 4; 6; ... .

Сделайте вывод.

Проанализируем полученную последовательность $y_n$: 0; 2; 4; 6; ... . Найдем разность между ее соседними членами:

$y_2 - y_1 = 2 - 0 = 2$

$y_3 - y_2 = 4 - 2 = 2$

$y_4 - y_3 = 6 - 4 = 2$

Разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна 2. Это означает, что полученная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 0$ и разностью $d = 2$.

В общем случае, если аргументы логарифмической функции $y = \log_a x$ образуют геометрическую прогрессию $x_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, то соответствующие значения функции $y_n = \log_a x_n$ образуют арифметическую прогрессию. Это следует из свойства логарифма:

$y_n = \log_a(b_1 \cdot q^{n-1}) = \log_a b_1 + \log_a(q^{n-1}) = \log_a b_1 + (n-1)\log_a q$.

Это выражение является формулой n-го члена арифметической прогрессии, где первый член равен $\log_a b_1$, а разность равна $\log_a q$.

Ответ: Значения логарифмической функции составляют последовательность 0; 2; 4; 6; ..., которая является арифметической прогрессией. Вывод: если аргументы логарифмической функции образуют геометрическую прогрессию, то соответствующие значения функции образуют арифметическую прогрессию.

21.14. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \log_{x-2} \left(\frac{2x}{x+1} - 1\right)$;

2) $f(x) = \log_{x+5} \left(\frac{3x+2}{2x-1}\right)$;

3) $f(x) = \log_{x-1} \left(\frac{x}{9-x^2}\right)$;

4) $f(x) = \log_{3-x} \frac{x^2-4}{x}$.

1) Область определения функции $y = \log_{a(x)} b(x)$ находится из системы неравенств: $ \begin{cases} a(x) > 0 \\ a(x) \neq 1 \\ b(x) > 0 \end{cases} $ Для функции $f(x) = \log_{x-2} \left(\frac{2x}{x+1} - 1\right)$ имеем: $ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 2 \neq 1 \\ \frac{2x}{x+1} - 1 > 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство системы:

1) $x - 2 > 0 \implies x > 2$

2) $x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3$

3) $\frac{2x}{x+1} - 1 > 0 \implies \frac{2x - (x+1)}{x+1} > 0 \implies \frac{x-1}{x+1} > 0$

Решим последнее неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=-1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -1)$, дробь положительна.

- При $x \in (-1; 1)$, дробь отрицательна.

- При $x \in (1; +\infty)$, дробь положительна.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех условий: $x > 2$, $x \neq 3$ и $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Пересечением интервалов $(2; +\infty)$ и $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ является интервал $(2; +\infty)$. Учитывая условие $x \neq 3$, получаем область определения.

Ответ: $x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \log_{x+5} \left(\frac{3x+2}{2x-1}\right)$ система неравенств для нахождения области определения выглядит так: $ \begin{cases} x + 5 > 0 \\ x + 5 \neq 1 \\ \frac{3x+2}{2x-1} > 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство:

1) $x + 5 > 0 \implies x > -5$

2) $x + 5 \neq 1 \implies x \neq -4$

3) $\frac{3x+2}{2x-1} > 0$

Решим последнее неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = -2/3$ и $x = 1/2$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -2/3)$, $(-2/3; 1/2)$, $(1/2; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -2/3)$, дробь положительна.

- При $x \in (-2/3; 1/2)$, дробь отрицательна.

- При $x \in (1/2; +\infty)$, дробь положительна.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений всех условий: $x > -5$, $x \neq -4$ и $x \in (-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$.

Пересекая интервал $(-5; +\infty)$ с объединением $(-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$, получаем $(-5; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$. Исключая точку $x=-4$ из этого множества, получаем конечную область определения.

Ответ: $x \in (-5; -4) \cup (-4; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \log_{x-1} \left(\frac{x}{9-x^2}\right)$ система неравенств: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \\ \frac{x}{9-x^2} > 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство:

1) $x - 1 > 0 \implies x > 1$

2) $x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$

3) $\frac{x}{9-x^2} > 0 \implies \frac{x}{(3-x)(3+x)} > 0$

Решим последнее неравенство методом интервалов. Корни: $x=0$, $x=3$, $x=-3$. Они разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 3)$, $(3; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -3)$, выражение $\frac{x}{(3-x)(3+x)}$ положительно.

- При $x \in (-3; 0)$, выражение отрицательно.

- При $x \in (0; 3)$, выражение положительно.

- При $x \in (3; +\infty)$, выражение отрицательно.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)$.

Найдем пересечение решений всех условий: $x > 1$, $x \neq 2$ и $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)$.

Пересечение интервала $(1; +\infty)$ с множеством $(-\infty; -3) \cup (0; 3)$ дает интервал $(1; 3)$. Из этого интервала нужно исключить точку $x=2$.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; 3)$.

4) Для функции $f(x) = \log_{3-x} \frac{x^2-4}{x}$ система неравенств: $ \begin{cases} 3 - x > 0 \\ 3 - x \neq 1 \\ \frac{x^2-4}{x} > 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство:

1) $3 - x > 0 \implies x < 3$

2) $3 - x \neq 1 \implies x \neq 2$

3) $\frac{x^2-4}{x} > 0 \implies \frac{(x-2)(x+2)}{x} > 0$

Решим последнее неравенство методом интервалов. Корни: $x=2$, $x=-2$, $x=0$. Они разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -2)$, выражение $\frac{(x-2)(x+2)}{x}$ отрицательно.

- При $x \in (-2; 0)$, выражение положительно.

- При $x \in (0; 2)$, выражение отрицательно.

- При $x \in (2; +\infty)$, выражение положительно.

Решение неравенства: $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений всех условий: $x < 3$, $x \neq 2$ и $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$.

Пересечение интервала $(-\infty; 3)$ с множеством $(-2; 0) \cup (2; +\infty)$ дает $(-2; 0) \cup (2; 3)$. Условие $x \neq 2$ уже выполнено, так как точка 2 не входит в полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (2; 3)$.

21.15. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \lg |x^2 - 1|$;

2) $f(x) = \lg |x - 3|$;

3) $f(x) = |\lg |x||$;

4) $f(x) = 4 - |\log_3 |x - 1||$.

1) $f(x) = \lg |x^2 - 1|$

Для построения графика функции $y = \lg|x^2 - 1|$ выполним последовательность преобразований.

1. Область определения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $|x^2 - 1| > 0$. Это выполняется, когда $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Чётность. $f(-x) = \lg|(-x)^2 - 1| = \lg|x^2 - 1| = f(x)$. Функция чётная, её график симметричен относительно оси OY.

3. Построение графика:

а) Начнём с графика параболы $y_1 = x^2 - 1$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещённая на 1 единицу вниз. Её вершина находится в точке $(0, -1)$, а корни — в точках $x=-1$ и $x=1$.

б) Далее строим график функции $y_2 = |x^2 - 1|$. Для этого часть графика $y_1$, которая лежит ниже оси OX (на интервале $(-1, 1)$), мы симметрично отражаем относительно оси OX. Вершина $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$.

в) Теперь строим итоговый график $y = \lg|x^2 - 1|$, применяя логарифмическую функцию к $y_2$.

• Вертикальные асимптоты. Логарифм не определён, когда его аргумент равен нулю. Это происходит при $|x^2 - 1| = 0$, то есть при $x = \pm 1$. Когда $x$ стремится к $\pm 1$, $|x^2 - 1|$ стремится к $0^+$, поэтому $\lg|x^2 - 1| \to -\infty$. Прямые $x=-1$ и $x=1$ — вертикальные асимптоты.

• Нули функции. Найдём точки пересечения с осью OX, решив уравнение $y=0$:

$\lg|x^2 - 1| = 0 \implies |x^2 - 1| = 10^0 = 1$.

Это даёт два случая: $x^2 - 1 = 1 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$, и $x^2 - 1 = -1 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$.

Таким образом, нули функции находятся в точках $x = -\sqrt{2}$, $x=0$, $x=\sqrt{2}$.

• Экстремумы. Функция $y_2 = |x^2 - 1|$ имеет локальный максимум в точке $x=0$, равный $1$. Поскольку функция $\lg(t)$ является возрастающей, в точке $x=0$ функция $f(x)$ также будет иметь локальный максимум, равный $\lg(1) = 0$.

• Поведение на бесконечности. При $x \to \pm\infty$, $x^2-1 \to +\infty$, следовательно $\lg|x^2-1| \to +\infty$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY и состоит из трёх ветвей, разделённых вертикальными асимптотами $x=-1$ и $x=1$. Центральная ветвь на интервале $(-1, 1)$ представляет собой "арку", касающуюся оси OX в точке $(0, 0)$ (локальный максимум) и уходящую к $-\infty$ при приближении к асимптотам. Две боковые ветви на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$ начинаются от асимптот из $-\infty$, пересекают ось OX в точках $x = \pm\sqrt{2}$ и уходят в $+\infty$.

2) $f(x) = \lg |x - 3|$

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько шагов, используя преобразования базовой функции $y = \lg(x)$.

1. Базовый график. Строим график функции $y_1 = \lg(x)$. Это стандартная логарифмическая кривая, проходящая через точку $(1, 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$. Область определения $x>0$.

2. Применение модуля к аргументу. Строим график функции $y_2 = \lg|x|$. Для этого мы отражаем график $y_1$ (для $x>0$) симметрично относительно оси OY. Полученный график симметричен относительно оси OY, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и пересекает ось OX в точках $x=-1$ и $x=1$. Область определения $x \neq 0$.

3. Сдвиг по горизонтали. Строим итоговый график $y = \lg|x - 3|$. Это график функции $y_2$, сдвинутый на 3 единицы вправо. • Область определения. $|x - 3| > 0 \implies x \neq 3$. • Симметрия. График симметричен относительно прямой $x=3$. • Вертикальная асимптота. Асимптота $x=0$ для $y_2$ смещается вправо на 3, становясь прямой $x=3$. • Нули функции. Найдём точки пересечения с осью OX: $\lg|x-3| = 0 \implies |x-3| = 1$.

Два случая: $x-3=1 \implies x=4$ и $x-3=-1 \implies x=2$. Нули в точках $x=2$ и $x=4$. • Пересечение с осью OY. При $x=0$, $y = \lg|0-3| = \lg(3)$. Точка пересечения $(0, \lg 3)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=3$. Правая ветвь (для $x>3$) является графиком функции $\lg(x-3)$, она выходит из $-\infty$ от асимптоты, пересекает ось OX в точке $(4, 0)$ и уходит в $+\infty$. Левая ветвь (для $x<3$) является её зеркальным отражением, она также выходит из $-\infty$ от асимптоты, пересекает ось OX в точке $(2, 0)$, ось OY в точке $(0, \lg 3)$ и уходит в $+\infty$ при $x \to -\infty$.

3) $f(x) = |\lg|x||$

Построим график, выполняя последовательные преобразования.

1. Базовый график. Начинаем с графика $y_1 = \lg(x)$.

2. Применение модуля к аргументу. Строим график $y_2 = \lg|x|$, как в предыдущем задании, отражая $y_1$ относительно оси OY. График симметричен относительно OY, имеет асимптоту $x=0$ и нули в $x=\pm 1$. Функция отрицательна на интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

3. Применение модуля ко всей функции. Строим итоговый график $y = |\lg|x||$. Для этого все части графика $y_2$, которые находятся ниже оси OX, мы симметрично отражаем относительно оси OX. • Части графика на интервалах $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, где $y_2 \ge 0$, остаются без изменений. • Части графика на интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$, где $y_2 < 0$, отражаются вверх. • Область определения. $x \neq 0$. • Область значений. $y \ge 0$. • Вертикальная асимптота. При $x \to 0$, $y_2 = \lg|x| \to -\infty$, поэтому $y = |\lg|x|| \to +\infty$. Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой, к которой график стремится вверх. • Нули функции. $y=0$ там, где $\lg|x|=0$, то есть при $|x|=1$, $x=\pm 1$. В этих точках график не пересекает, а касается оси OX, образуя "острые углы" (точки излома). • Симметрия. Функция чётная, $f(-x) = |\lg|-x|| = |\lg|x|| = f(x)$, график симметричен относительно оси OY.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY и расположен полностью в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$, к которой обе ветви стремятся в $+\infty$. График касается оси OX в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. На интервалах $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$ он совпадает с графиком $\lg|x|$, а на интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$ он является отражением графика $\lg|x|$ относительно оси OX.

4) $f(x) = 4 - |\log_3 |x - 1||$

Построим график функции через последовательность преобразований.

1. Базовый график: $y_1 = \log_3(x)$. Это логарифмическая функция с основанием 3.

2. $y_2 = \log_3|x|$: отражаем $y_1$ относительно оси OY.

3. $y_3 = \log_3|x-1|$: сдвигаем $y_2$ на 1 единицу вправо. Асимптота теперь $x=1$, нули в $x=0$ и $x=2$. График симметричен относительно прямой $x=1$.

4. $y_4 = |\log_3|x-1||$: отражаем отрицательную часть $y_3$ (на интервале $(0, 2)$, кроме $x=1$) вверх. Теперь асимптота $x=1$ уходит в $+\infty$, а в точках $x=0$ и $x=2$ график касается оси OX.

5. $y_5 = -|\log_3|x-1||$: отражаем весь график $y_4$ относительно оси OX. Теперь асимптота $x=1$ уходит в $-\infty$, а точки касания $(0,0)$ и $(2,0)$ становятся вершинами (максимумами).

6. $y = 4 - |\log_3|x-1||$: сдвигаем график $y_5$ на 4 единицы вверх.

Проанализируем итоговую функцию:

• Область определения. $|x - 1| > 0 \implies x \neq 1$.

• Симметрия. График симметричен относительно прямой $x=1$.

• Вертикальная асимптота. Прямая $x=1$. При $x \to 1$, $y \to -\infty$.

• Экстремумы. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$ на графике $y_5$ были максимумами. После сдвига вверх на 4 они становятся точками локальных максимумов $(0, 4)$ и $(2, 4)$. Это точки излома ("острые вершины").

• Нули функции. Решим уравнение $4 - |\log_3|x-1|| = 0$:

$|\log_3|x-1|| = 4$.

Это даёт два случая:

a) $\log_3|x-1| = 4 \implies |x-1| = 3^4 = 81$. Отсюда $x-1=81 \implies x=82$ или $x-1=-81 \implies x=-80$.

b) $\log_3|x-1| = -4 \implies |x-1| = 3^{-4} = 1/81$. Отсюда $x-1=1/81 \implies x=82/81$ или $x-1=-1/81 \implies x=80/81$.

Итого 4 нуля: $x=-80, x=80/81, x=82/81, x=82$.

• Поведение на бесконечности. При $x \to \pm\infty$, $|\log_3|x-1|| \to +\infty$, поэтому $f(x) \to -\infty$.

Ответ: График функции симметричен относительно вертикальной асимптоты $x=1$. Он состоит из трёх частей. Центральная часть, на интервале $(0, 2)$, представляет собой две "арки", исходящие из точек локальных максимумов $(0, 4)$ и $(2, 4)$, пересекающие ось OX в точках $x=80/81$ и $x=82/81$ соответственно, и уходящие к $-\infty$ по мере приближения к асимптоте $x=1$. Две крайние ветви начинаются от максимумов $(0, 4)$ и $(2, 4)$, идут вниз, пересекают ось OX в точках $x=-80$ и $x=82$ и уходят в $-\infty$ при $x \to \pm\infty$.

21.16. Решите уравнение с помощью замены переменной на множестве комплексных чисел:

1) $z^4 - z^2 - 12 = 0;$

2) $z^4 - 5z^2 - 36 = 0;$

3) $z - 3 + 2\sqrt{z - 3} = 8;$

4) $(z + 1)^2(z^2 + 2z) = 12.$

1) $z^4 - z^2 - 12 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = z^2$. Тогда $z^4 = (z^2)^2 = t^2$.

Подставив новую переменную в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - t - 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Корни для $t$ равны:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $z$.

Случай 1: $t_1 = 4$.

$z^2 = 4$

Отсюда $z = \pm\sqrt{4}$, что дает два корня: $z_1 = 2$ и $z_2 = -2$.

Случай 2: $t_2 = -3$.

$z^2 = -3$

На множестве комплексных чисел $z = \pm\sqrt{-3} = \pm\sqrt{3 \cdot (-1)} = \pm i\sqrt{3}$. Это дает еще два корня: $z_3 = i\sqrt{3}$ и $z_4 = -i\sqrt{3}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = -2$, $z_3 = i\sqrt{3}$, $z_4 = -i\sqrt{3}$.

2) $z^4 - 5z^2 - 36 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Применим замену переменной: пусть $t = z^2$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 5t - 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь вернемся к переменной $z$, выполнив обратную замену.

Случай 1: $t_1 = 9$.

$z^2 = 9$

Корни: $z_1 = 3$, $z_2 = -3$.

Случай 2: $t_2 = -4$.

$z^2 = -4$

Корни: $z = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i$. Таким образом, $z_3 = 2i$ и $z_4 = -2i$.

Уравнение имеет четыре комплексных корня.

Ответ: $z_1 = 3$, $z_2 = -3$, $z_3 = 2i$, $z_4 = -2i$.

3) $z - 3 + 2\sqrt{z - 3} = 8$

Преобразуем уравнение, чтобы было удобнее сделать замену:

$(z - 3) + 2\sqrt{z - 3} - 8 = 0$

Введем замену $t = \sqrt{z - 3}$. Тогда $z - 3 = t^2$. Подставим в уравнение:

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Его можно решить разложением на множители:

$(t + 4)(t - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.

Теперь сделаем обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t_1 = 2$.

$\sqrt{z - 3} = 2$

Возводим обе части в квадрат: $z - 3 = 2^2 = 4$.

Отсюда $z = 4 + 3 = 7$.

Проверим решение: $7 - 3 + 2\sqrt{7-3} = 4 + 2\sqrt{4}$. В комплексных числах $\sqrt{4}$ имеет два значения: $2$ и $-2$. Если выбрать значение $2$, то $4 + 2(2) = 8$. Равенство выполняется.

Случай 2: $t_2 = -4$.

$\sqrt{z - 3} = -4$

Возводим обе части в квадрат: $z - 3 = (-4)^2 = 16$.

Отсюда $z = 16 + 3 = 19$.

Проверим решение: $19 - 3 + 2\sqrt{19-3} = 16 + 2\sqrt{16}$. Чтобы равенство выполнялось, $2\sqrt{16}$ должно быть равно $8 - 16 = -8$, то есть $\sqrt{16} = -4$. Это одно из двух комплексных значений корня из 16, поэтому решение является верным.

Ответ: $z_1 = 7$, $z_2 = 19$.

4) $(z + 1)^2(z^2 + 2z) = 12$

Заметим, что выражение $(z+1)^2$ связано с выражением $z^2+2z$.

$(z+1)^2 = z^2 + 2z + 1$

Сделаем замену $t = z^2 + 2z$. Тогда $(z+1)^2 = t + 1$.

Подставим замену в уравнение:

$(t + 1)t = 12$

$t^2 + t - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители:

$(t + 4)(t - 3) = 0$

Корни для $t$: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $t_1 = 3$.

$z^2 + 2z = 3$

$z^2 + 2z - 3 = 0$

Раскладываем на множители: $(z + 3)(z - 1) = 0$.

Получаем два корня: $z_1 = 1$ и $z_2 = -3$.

Случай 2: $t_2 = -4$.

$z^2 + 2z = -4$

$z^2 + 2z + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$

Корни: $z = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}i}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$.

Получаем еще два корня: $z_3 = -1 + i\sqrt{3}$ и $z_4 = -1 - i\sqrt{3}$.

Всего уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 1$, $z_2 = -3$, $z_3 = -1 + i\sqrt{3}$, $z_4 = -1 - i\sqrt{3}$.

21.17. Запишите аналитическую формулу функции, график которой изображен на рисунке 61:

1)

2)

1)

На рисунке изображен график показательной (экспоненциальной) функции. Ее общая формула $y = a^x$, где $a$ - основание степени. График такой функции всегда проходит через точку $(0; 1)$, так как любое число в нулевой степени равно единице. Это соответствует изображению на рисунке.

Чтобы найти основание $a$, выберем на графике любую другую точку с хорошо читаемыми целочисленными координатами. Например, точка с координатами $(1; 2)$. Подставим значения $x=1$ и $y=2$ в общую формулу:

$2 = a^1$

Из этого уравнения следует, что $a = 2$.

Таким образом, аналитическая формула функции: $y = 2^x$.

Для проверки можно взять еще одну точку, например, $(2; 4)$:

$y(2) = 2^2 = 4$.

Или точку $(-1; 0.5)$:

$y(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Все точки на графике удовлетворяют полученной формуле.

Ответ: $y = 2^x$

2)

На рисунке изображен график функции квадратного корня, который был смещен. Общий вид такой функции $y = k\sqrt{x-h} + v$, где $(h, v)$ — координаты начальной точки графика.

Из рисунка видно, что начальная точка графика имеет координаты $(-2; 0)$. Это означает, что график функции $y=\sqrt{x}$ был смещен на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс ($h=-2$) и не смещен по оси ординат ($v=0$).

Таким образом, формула функции принимает вид $y = k\sqrt{x - (-2)} + 0$, что упрощается до $y = k\sqrt{x+2}$.

Теперь найдем коэффициент $k$. Для этого выберем на графике еще одну точку с целочисленными координатами, например, точку $(-1; 1)$. Подставим ее координаты в нашу формулу:

$1 = k\sqrt{-1+2}$

$1 = k\sqrt{1}$

$1 = k \cdot 1$

Отсюда $k=1$.

Следовательно, искомая аналитическая формула: $y = \sqrt{x+2}$.

Проверим себя с помощью еще одной точки с графика, например, $(2; 2)$:

$y(2) = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Равенство верное, значит формула найдена правильно.

Ответ: $y = \sqrt{x+2}$

21.18. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что значение произведения выпавших очков равно:

1) 6;

2) 3.

При броске двух игральных костей возможное количество очков на каждой кости — от 1 до 6. Общее число всех равновозможных исходов равно произведению числа вариантов для каждой кости.

Общее число исходов $N = 6 \times 6 = 36$.

Вероятность любого события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятствующих этому событию исходов, а $N$ — общее число всех равновозможных исходов.

1) Найдем вероятность того, что произведение выпавших очков равно 6.

Пусть событие $A$ — произведение очков равно 6.

Найдем все пары чисел на костях, произведение которых равно 6. Будем считать, что первая цифра в паре — это очки на первой кости, а вторая — на второй.

Благоприятными исходами являются следующие пары:

$(1, 6)$, так как $1 \times 6 = 6$

$(2, 3)$, так как $2 \times 3 = 6$

$(3, 2)$, так как $3 \times 2 = 6$

$(6, 1)$, так как $6 \times 1 = 6$

Всего благоприятных исходов $m = 4$.

Вероятность этого события:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

2) Найдем вероятность того, что произведение выпавших очков равно 3.

Пусть событие $B$ — произведение очков равно 3.

Найдем все пары чисел на костях, произведение которых равно 3.

Благоприятными исходами являются следующие пары:

$(1, 3)$, так как $1 \times 3 = 3$

$(3, 1)$, так как $3 \times 1 = 3$

Всего благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность этого события:

$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$.