Страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите области определений функции $y = f(x)$ (21.5-21.7):

21.5. 1) $f(x) = \log_2(x + 1)$; 2) $f(x) = \log_{0,7}(x - 8)$;

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(3x + 4)$; 4) $f(x) = \log_5(2x - 1)$.

1) Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ находится из условия, что аргумент логарифма $f(x)$ должен быть строго положительным. Для функции $f(x) = \log_2(x + 1)$ аргументом является выражение $x + 1$. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$x + 1 > 0$

Перенеся 1 в правую часть, получаем:

$x > -1$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие $-1$. В виде интервала это записывается как $(-1; +\infty)$.

Ответ: $(-1; +\infty)$

2) Для функции $f(x) = \log_{0.1}(x - 8)$ аргумент логарифма равен $x - 8$. Область определения находится из условия, что аргумент должен быть положительным. Составим и решим неравенство:

$x - 8 > 0$

Перенеся -8 в правую часть, получаем:

$x > 8$

Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, которые строго больше 8. В виде интервала это записывается как $(8; +\infty)$.

Ответ: $(8; +\infty)$

3) Для функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(3x + 4)$ аргумент логарифма равен $3x + 4$. Потребуем, чтобы аргумент был строго больше нуля, и решим соответствующее неравенство:

$3x + 4 > 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$3x > -4$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x > -\frac{4}{3}$

Таким образом, область определения функции — это интервал $(-\frac{4}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(-\frac{4}{3}; +\infty)$

4) Для функции $f(x) = \log_5(2x - 1)$ аргумент логарифма равен $2x - 1$. Область определения функции находится из условия, что аргумент логарифма должен быть положительным. Решим неравенство:

$2x - 1 > 0$

Перенесем -1 в правую часть:

$2x > 1$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x > \frac{1}{2}$

Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, которые строго больше $\frac{1}{2}$. В виде интервала это записывается как $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; +\infty)$

21.6. 1) $f(x) = \log_{\frac{1}{4}}(2 - x);$

2) $f(x) = \log_{2.5}(5 - 2x);$

3) $f(x) = \log_{5}(11 - 4x);$

4) $f(x) = \log_{7}(6 - 5x).$

1) Для функции $f(x) = \log_{\frac{1}{4}}(2 - x)$ необходимо найти область определения. Область определения логарифмической функции $y = \log_a(b)$ задается условием, что ее аргумент (выражение под знаком логарифма) должен быть строго положительным: $b > 0$. Также, основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$). В данном случае основание $a = \frac{1}{4}$ удовлетворяет этим условиям, так как $0 < \frac{1}{4} < 1$. Поэтому, для нахождения области определения функции, необходимо решить неравенство: $2 - x > 0$. Перенесем $-x$ в правую часть неравенства, сменив знак: $2 > x$. Это неравенство можно записать как $x < 2$. Таким образом, область определения данной функции — это все действительные числа, которые меньше 2. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

2) Для функции $f(x) = \log_{2.5}(5 - 2x)$ найдем ее область определения. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Основание логарифма $a = 2.5$ является корректным, так как $2.5 > 0$ и $2.5 \neq 1$. Составим и решим соответствующее неравенство: $5 - 2x > 0$. Перенесем $-2x$ в правую часть: $5 > 2x$. Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не меняется, так как 2 > 0): $\frac{5}{2} > x$, или $x < 2.5$. Следовательно, область определения функции представляет собой интервал $(-\infty; 2.5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2.5)$.

3) Найдем область определения функции $f(x) = \log_{5}(11 - 4x)$. Условием существования логарифма является положительность его аргумента. Основание $a = 5$ удовлетворяет требованиям ($5 > 0$, $5 \neq 1$). Решим неравенство: $11 - 4x > 0$. Перенесем $-4x$ в правую часть: $11 > 4x$. Разделим обе части на 4: $\frac{11}{4} > x$. Это неравенство можно записать как $x < \frac{11}{4}$ или $x < 2.75$. Областью определения является интервал $(-\infty; \frac{11}{4})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{4})$.

4) Определим область определения для функции $f(x) = \log_{7}(6 - 5x)$. Аргумент логарифма должен быть положительным. Основание $a=7$ является допустимым ($7 > 0$, $7 \neq 1$). Решаем неравенство: $6 - 5x > 0$. Переносим $-5x$ в правую часть: $6 > 5x$. Разделим обе части на 5: $\frac{6}{5} > x$. Это неравенство эквивалентно $x < \frac{6}{5}$ или $x < 1.2$. Таким образом, область определения функции — это интервал $(-\infty; \frac{6}{5})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{6}{5})$.

21.7. 1) $f(x) = \lg(3x - 1) + \lg(x^2 + x + 1);$

2) $f(x) = \lg(x - 5) + \lg(x^2 + x + 2);$

3) $f(x) = \log_3(x - 1) + \log_2(x + 5);$

4) $f(x) = \log_{0.3}(3 - x) - \log_{0.3}(x + 2).$

В задачах требуется найти область определения функции. Область определения логарифмической функции $y = \log_a(b)$ определяется условием $b > 0$ (аргумент логарифма должен быть строго положительным). Основание логарифма $a$ должно быть $a > 0$ и $a \neq 1$, что выполняется для всех заданных функций.

1) Для функции $f(x) = \lg(3x - 1) + \lg(x^2 + x + 1)$ необходимо, чтобы аргументы обоих логарифмов были строго больше нуля. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ x^2 + x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x - 1 > 0$

$3x > 1$

$x > \frac{1}{3}$

Решим второе неравенство: $x^2 + x + 1 > 0$.

Это квадратичное неравенство. Найдем дискриминант соответствующего уравнения $x^2 + x + 1 = 0$: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положительный, парабола $y = x^2 + x + 1$ полностью лежит выше оси Ox, а значит, неравенство $x^2 + x + 1 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Областью определения функции является пересечение решений двух неравенств: $x > \frac{1}{3}$ и $x \in (-\infty; +\infty)$.

Следовательно, область определения функции: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \lg(x - 5) + \lg(x^2 + x + 2)$ находится из условия, что аргументы логарифмов положительны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ x^2 + x + 2 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x - 5 > 0$

$x > 5$

Решим второе неравенство: $x^2 + x + 2 > 0$.

Найдем дискриминант уравнения $x^2 + x + 2 = 0$: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положительный. Это означает, что парабола $y = x^2 + x + 2$ целиком находится выше оси абсцисс, и неравенство $x^2 + x + 2 > 0$ справедливо для всех $x \in \mathbb{R}$.

Пересечением решений $x > 5$ и $x \in \mathbb{R}$ является интервал $x > 5$.

Следовательно, область определения функции: $x \in (5; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (5; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \log_3(x - 1) + \log_2(x + 5)$ необходимо, чтобы оба подлогарифмических выражения были положительны:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

Из первого неравенства получаем: $x > 1$.

Из второго неравенства получаем: $x > -5$.

Чтобы оба неравенства выполнялись одновременно, необходимо найти их пересечение. Решением системы является $x > 1$.

Следовательно, область определения функции: $x \in (1; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1; +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = \log_7(3 - x) - \log_{0.3}(x + 2)$ аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 3 - x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

Из первого неравенства: $3 > x$, или $x < 3$.

Из второго неравенства: $x > -2$.

Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство: $-2 < x < 3$.

Следовательно, область определения функции: $x \in (-2; 3)$.

Ответ: $D(f) = (-2; 3)$.

21.8. Постройте схематически график функции $y = f(x)$ и перечислите ее свойства:

1) $f(x) = \log_3 x + 2;$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x - 4;$

3) $f(x) = -\log_2 x;$

4) $f(x) = 2 - \frac{1}{3}\log_4 (x + 3).$

1) $f(x) = \log_3 x + 2$;

График функции $f(x) = \log_3 x + 2$ получается из графика основной логарифмической функции $y = \log_3 x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вверх. Так как основание логарифма $3 > 1$, исходная функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Сдвиг вверх не меняет монотонность. Вертикальная асимптота $x=0$ также сохраняется.

Свойства функции:

• Область определения: аргумент логарифма должен быть положителен, $x > 0$. Таким образом, $D(f) = (0; +\infty)$.

• Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Монотонность: функция является возрастающей на всей области определения.

• Нули функции (пересечение с осью $Ox$): $f(x)=0 \implies \log_3 x + 2 = 0 \implies \log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Точка пересечения: $(\frac{1}{9}, 0)$.

• Пересечение с осью $Oy$: отсутствует, так как $x=0$ не входит в область определения.

• Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 0$.

• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида), так как ее область определения несимметрична относительно начала координат.

Ответ: График функции — возрастающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $x=0$, полученная сдвигом графика $y=\log_3 x$ на 2 единицы вверх. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, возрастает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x = 1/9$.

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x - 4$;

График функции $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x - 4$ получается из графика функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на 4 единицы вниз. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, исходная функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. Сдвиг вниз не меняет монотонность. Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.

Свойства функции:

• Область определения: $x > 0$. Таким образом, $D(f) = (0; +\infty)$.

• Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Монотонность: функция является убывающей на всей области определения.

• Нули функции (пересечение с осью $Ox$): $f(x)=0 \implies \log_{\frac{1}{2}} x - 4 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}} x = 4 \implies x = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$. Точка пересечения: $(\frac{1}{16}, 0)$.

• Пересечение с осью $Oy$: отсутствует.

• Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 0$.

• Четность: функция общего вида.

Ответ: График функции — убывающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $x=0$, полученная сдвигом графика $y=\log_{\frac{1}{2}} x$ на 4 единицы вниз. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x = 1/16$.

3) $f(x) = -\log_2 x$;

График функции $f(x) = -\log_2 x$ получается из графика функции $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$. Исходная функция $y = \log_2 x$ возрастающая (основание $2>1$), поэтому после отражения функция $f(x)$ становится убывающей. Также можно заметить, что $-\log_2 x = \log_{2^{-1}} x = \log_{\frac{1}{2}} x$. Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.

Свойства функции:

• Область определения: $x > 0$. Таким образом, $D(f) = (0; +\infty)$.

• Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Монотонность: функция является убывающей на всей области определения.

• Нули функции (пересечение с осью $Ox$): $f(x)=0 \implies -\log_2 x = 0 \implies \log_2 x = 0 \implies x = 2^0 = 1$. Точка пересечения: $(1, 0)$.

• Пересечение с осью $Oy$: отсутствует.

• Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 0$.

• Четность: функция общего вида.

Ответ: График функции — убывающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $x=0$, полученная отражением графика $y=\log_2 x$ относительно оси $Ox$. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x = 1$.

4) $f(x) = 2 - \log_4(x + 3)$.

График функции $f(x) = 2 - \log_4(x + 3)$ получается из графика $y = \log_4 x$ последовательностью преобразований: сдвиг влево на 3 единицы, отражение относительно оси $Ox$ и сдвиг вверх на 2 единицы. Сдвиг влево переносит вертикальную асимптоту в точку $x=-3$. Отражение меняет монотонность с возрастающей на убывающую.

Свойства функции:

• Область определения: $x+3 > 0 \implies x > -3$. Таким образом, $D(f) = (-3; +\infty)$.

• Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Монотонность: функция является убывающей на всей области определения из-за знака "минус" перед логарифмом.

• Нули функции (пересечение с осью $Ox$): $f(x)=0 \implies 2 - \log_4(x+3) = 0 \implies \log_4(x+3) = 2 \implies x+3 = 4^2 = 16 \implies x=13$. Точка пересечения: $(13, 0)$.

• Пересечение с осью $Oy$: $f(0) = 2 - \log_4(0+3) = 2 - \log_4 3$. Точка пересечения: $(0, 2 - \log_4 3)$.

• Асимптоты: вертикальная асимптота $x = -3$.

• Четность: функция общего вида.

Ответ: График функции — убывающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $x=-3$. Свойства: $D(f) = (-3; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(-3; +\infty)$, нуль функции $x = 13$, пересечение с осью $Oy$ в точке $(0, 2 - \log_4 3)$.

21.9. Постройте график обратной функции к функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 4^x$;

2) $f(x) = 0.2^x$;

3) $f(x) = 2^{x+1}$;

4) $f(x) = 3^x - 2$.

1) Чтобы найти функцию, обратную к $y = 4^x$, необходимо поменять местами переменные $x$ и $y$ и затем выразить $y$. Исходное уравнение: $y = 4^x$. Меняем переменные: $x = 4^y$. Теперь, чтобы выразить $y$, используем определение логарифма: если $a^c = b$, то $c = \log_a b$. В нашем случае, $y = \log_4 x$. Это и есть искомая обратная функция.

График обратной функции $g(x) = \log_4 x$ является зеркальным отражением графика исходной функции $f(x) = 4^x$ относительно прямой $y=x$. Для построения можно найти несколько точек для $f(x)$, например, $(0, 1)$, $(1, 4)$, $( -1, 1/4)$, а затем поменять в них координаты местами, чтобы получить точки для $g(x)$: $(1, 0)$, $(4, 1)$, $(1/4, -1)$.

Основные свойства графика $y = \log_4 x$ для его построения:

Область определения: $x > 0$, то есть $(0; +\infty)$.

Область значений: все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось $Oy$).

Поведение: функция является возрастающей, так как основание $4 > 1$.

Ответ: $y = \log_4 x$.

2) Дана функция $y = 0.2^x$. Представим $0.2$ в виде дроби: $y = (\frac{1}{5})^x$. Для нахождения обратной функции поменяем местами $x$ и $y$: $x = (\frac{1}{5})^y$. Выразим $y$ через $x$ по определению логарифма: $y = \log_{1/5} x$ или $y = \log_{0.2} x$.

График обратной функции $g(x) = \log_{0.2} x$ симметричен графику исходной функции $f(x) = 0.2^x$ относительно прямой $y=x$. Для построения графика $f(x)$ можно взять точки $(0, 1)$, $(1, 0.2)$, $(-1, 5)$. Тогда для графика $g(x)$ соответствующими точками будут $(1, 0)$, $(0.2, 1)$, $(5, -1)$.

Основные свойства графика $y = \log_{0.2} x$ для его построения:

Область определения: $x > 0$, то есть $(0; +\infty)$.

Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: $x=0$.

Поведение: функция является убывающей, так как основание $0.2 \in (0, 1)$.

Ответ: $y = \log_{0.2} x$.

3) Дана функция $y = 2^{x+1}$. Поменяем местами переменные: $x = 2^{y+1}$. Чтобы выразить $y$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: $\log_2 x = \log_2(2^{y+1})$. По свойству логарифма $\log_a(a^b)=b$, получаем $\log_2 x = y+1$. Отсюда $y = \log_2 x - 1$.

График обратной функции $g(x) = \log_2 x - 1$ симметричен графику $f(x) = 2^{x+1}$ относительно прямой $y=x$. График $f(x)$ — это график $y=2^x$, сдвинутый на 1 влево. График $g(x)$ — это график $y=\log_2 x$, сдвинутый на 1 вниз. Ключевые точки для $f(x)$: $(-1, 1)$, $(0, 2)$, $(1, 4)$. Соответствующие точки для $g(x)$: $(1, -1)$, $(2, 0)$, $(4, 1)$.

Основные свойства графика $y = \log_2 x - 1$ для его построения:

Область определения: $x > 0$, то есть $(0; +\infty)$.

Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: $x=0$.

Поведение: функция возрастающая, так как основание $2 > 1$.

Ответ: $y = \log_2 x - 1$.

4) Дана функция $y = 3^x - 2$. Меняем местами $x$ и $y$: $x = 3^y - 2$. Сначала изолируем показательный член: $x + 2 = 3^y$. Теперь, по определению логарифма, выражаем $y$: $y = \log_3(x+2)$.

График обратной функции $g(x) = \log_3(x+2)$ симметричен графику $f(x) = 3^x - 2$ относительно прямой $y=x$. График $f(x)$ — это график $y=3^x$, сдвинутый на 2 вниз (горизонтальная асимптота $y=-2$). График $g(x)$ — это график $y=\log_3 x$, сдвинутый на 2 влево (вертикальная асимптота $x=-2$). Ключевые точки для $f(x)$: $(0, -1)$, $(1, 1)$. Соответствующие точки для $g(x)$: $(-1, 0)$, $(1, 1)$.

Основные свойства графика $y = \log_3(x+2)$ для его построения:

Область определения: аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+2 > 0 \implies x > -2$. Таким образом, область определения $(-2; +\infty)$.

Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: $x=-2$.

Поведение: функция возрастающая, так как основание $3 > 1$.

Ответ: $y = \log_3(x+2)$.

Найдите области определения функции $y = f(x)$ (21.10—21.12):

21.10. 1) $f(x) = \sqrt{x + 2} - \log_{1.1}(6 - 2x);$

2) $f(x) = \sqrt{3 - x} + \log_5(9 + 4x);$

3) $f(x) = \log_2(x^2 - 1) + \sqrt{5 - x};$

4) $f(x) = \log_{0.8}(1 - x^4) - \sqrt{x - 0.7}.$

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+2} - \log_{1,1}(6 - 2x)$ находится как пересечение областей определения каждого из слагаемых. Для этого необходимо, чтобы выполнялись два условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — строго положительным. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ 6 - 2x > 0. \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x \ge -2, \\ -2x > -6. \end{cases}$

Разделим второе неравенство на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$\begin{cases} x \ge -2, \\ x < 3. \end{cases}$

Пересечение этих двух условий дает промежуток $x \in [-2; 3)$.

Ответ: $[-2; 3)$.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{3 - x} + \log_5(9 + 4x)$ область определения также находится из системы неравенств, учитывая свойства корня и логарифма:

$\begin{cases} 3 - x \ge 0, \\ 9 + 4x > 0. \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} -x \ge -3, \\ 4x > -9. \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 3, \\ x > -\frac{9}{4}. \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем промежуток $-\frac{9}{4} < x \le 3$.

Ответ: $(-\frac{9}{4}; 3]$.

3) Для функции $f(x) = \log_2(x^2 - 1) + \sqrt{5 - x}$ область определения находится из системы:

$\begin{cases} x^2 - 1 > 0, \\ 5 - x \ge 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 1 > 0 \implies (x-1)(x+1) > 0$. Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x < -1$ или $x > 1$. То есть, $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $5 - x \ge 0 \implies -x \ge -5 \implies x \le 5$. То есть, $x \in (-\infty; 5]$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ и $(-\infty; 5]$.

Пересечение дает нам объединение двух промежутков: $(-\infty; -1)$ и $(1; 5]$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; 5]$.

4) Область определения функции $f(x) = \log_{0,8}(1 - x^4) - \sqrt{x - 0,7}$ задается системой неравенств:

$\begin{cases} 1 - x^4 > 0, \\ x - 0,7 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство: $1 - x^4 > 0 \implies x^4 < 1$. Это неравенство равносильно $|x| < 1$, что означает $-1 < x < 1$.

Решим второе неравенство: $x - 0,7 \ge 0 \implies x \ge 0,7$.

Найдем пересечение решений: $-1 < x < 1$ и $x \ge 0,7$.

Общим решением системы является промежуток $0,7 \le x < 1$.

Ответ: $[0,7; 1)$.

21.11. 1) $f(x) = \log_3(x(x - 3)) - \log_3(x + 4)$;

2) $f(x) = \ln(3 + 5x) - \ln(4 - 9x^2)$;

3) $f(x) = \log_{0.5}(x^2 + x) + \sqrt{2 - x}$;

4) $f(x) = \sqrt{1 - x} + \ln(9 - x^2)$.

1) Область определения функции $f(x) = \log_3(x(x - 3)) - \log_3(x + 4)$ находится из условия, что выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} x(x - 3) > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство $x(x - 3) > 0$. Корни соответствующего уравнения $x(x-3)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=3$. Графиком функции $y=x(x-3)$ является парабола с ветвями, направленными вверх, следовательно, неравенство выполняется на интервалах $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

Решим второе неравенство $x + 4 > 0$, откуда получаем $x > -4$, то есть $x \in (-4, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $ ((- \infty, 0) \cup (3, +\infty)) \cap (-4, +\infty) $.

Пересечение дает нам объединение интервалов $(-4, 0) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-4, 0) \cup (3, +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \ln(3 + 5x) - \ln(4 - 9x^2)$ находится из условия, что выражения под знаком натурального логарифма должны быть строго положительными. Запишем систему неравенств:

$ \begin{cases} 3 + 5x > 0 \\ 4 - 9x^2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $5x > -3$, то есть $x > -3/5$.

Решим второе неравенство: $4 - 9x^2 > 0 \implies 9x^2 < 4 \implies x^2 < 4/9$. Это неравенство эквивалентно $|x| < 2/3$, что означает $-2/3 < x < 2/3$.

Найдем пересечение решений: $x > -3/5$ и $-2/3 < x < 2/3$. Так как $-2/3 \approx -0.667$ и $-3/5 = -0.6$, то $-2/3 < -3/5$. Таким образом, пересечением интервалов $(-3/5, +\infty)$ и $(-2/3, 2/3)$ является интервал $(-3/5, 2/3)$.

Ответ: $D(f) = (-3/5, 2/3)$.

3) Функция $f(x) = \log_{0.5}(x^2 + x) + \sqrt{2 - x}$ определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, а выражение под знаком логарифма строго положительно. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + x > 0 \\ 2 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство $x^2 + x > 0 \implies x(x+1) > 0$. Корнями уравнения $x(x+1)=0$ являются $x_1=-1$ и $x_2=0$. Графиком является парабола с ветвями вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

Решим второе неравенство $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$, что соответствует множеству $(-\infty, 2]$.

Найдем пересечение этих множеств: $((-\infty, -1) \cup (0, +\infty)) \cap (-\infty, 2]$.

Пересечение $(-\infty, -1)$ и $(-\infty, 2]$ дает $(-\infty, -1)$.

Пересечение $(0, +\infty)$ и $(-\infty, 2]$ дает $(0, 2]$.

Объединяя результаты, получаем область определения.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -1) \cup (0, 2]$.

4) Область определения функции $f(x) = \sqrt{1 - x} + \ln(9 - x^2)$ находится из следующих условий: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — строго положительным. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 9 - x^2 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$. Это соответствует интервалу $(-\infty, 1]$.

Решим второе неравенство: $9 - x^2 > 0 \implies x^2 < 9$. Это неравенство эквивалентно $|x| < 3$, что означает $-3 < x < 3$. Это соответствует интервалу $(-3, 3)$.

Найдем пересечение полученных множеств: $(-\infty, 1] \cap (-3, 3)$.

Пересечением является интервал $(-3, 1]$.

Ответ: $D(f) = (-3, 1]$.

21.12. 1) $f(x) = \frac{\lg(3 + 2x - x^2)}{2 - x}$;

2) $f(x) = \frac{\ln(x^2 + 5x)}{x - 7}$;

3) $f(x) = \lg |x - 3| + \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$;

4) $f(x) = 10\lg |x + 4| - \frac{3}{\sqrt{8 - x}}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{\lg(3 + 2x - x^2)}{2 - x}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} 3 + 2x - x^2 > 0 \\ 2 - x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3 + 2x - x^2 > 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 2x - 3 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$.

С помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = 3$.

Так как парабола $y = x^2 - 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть при $x \in (-1, 3)$.

Решим второе условие:

$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$.

Пересечением решений $x \in (-1, 3)$ и $x \neq 2$ является объединение интервалов $(-1, 2) \cup (2, 3)$.

Ответ: $D(f) = (-1, 2) \cup (2, 3)$.

2) Область определения функции $f(x) = \frac{\ln(x^2 + 5x)}{x - 7}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 5x > 0 \\ x - 7 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 5x > 0$

$x(x + 5) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x+5)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Парабола $y = x^2 + 5x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней: $x < -5$ или $x > 0$.

Решение в виде интервалов: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

Решим второе условие:

$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$.

Исключим точку $x=7$ из множества $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$. Так как $7 > 0$, точка $x=7$ принадлежит интервалу $(0, +\infty)$.

Получаем область определения: $(-\infty, -5) \cup (0, 7) \cup (7, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -5) \cup (0, 7) \cup (7, +\infty)$.

3) Область определения функции $f(x) = \lg |x - 3| + \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ является пересечением областей определения двух слагаемых.

1. Для $\lg |x - 3|$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $|x - 3| > 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x-3=0$, то есть $x \neq 3$.

2. Для $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля: $x - 2 > 0$.

Отсюда $x > 2$.

Найдем пересечение этих двух условий:

$\begin{cases} x \neq 3 \\ x > 2 \end{cases}$

Решением системы является объединение интервалов $(2, 3) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x) = 10\lg |x + 4| - \frac{3}{\sqrt{8 - x}}$ является пересечением областей определения уменьшаемого и вычитаемого.

1. Для $10\lg |x + 4|$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $|x + 4| > 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x+4=0$, то есть $x \neq -4$.

2. Для $\frac{3}{\sqrt{8 - x}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля: $8 - x > 0$.

Отсюда $x < 8$.

Найдем пересечение этих двух условий:

$\begin{cases} x \neq -4 \\ x < 8 \end{cases}$

Решением системы является множество всех чисел, меньших 8, за исключением -4.

В виде интервалов это записывается как $(-\infty, -4) \cup (-4, 8)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -4) \cup (-4, 8)$.