Номер 21.12, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.12. 1) $f(x) = \frac{\lg(3 + 2x - x^2)}{2 - x}$;

2) $f(x) = \frac{\ln(x^2 + 5x)}{x - 7}$;

3) $f(x) = \lg |x - 3| + \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$;

4) $f(x) = 10\lg |x + 4| - \frac{3}{\sqrt{8 - x}}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{\lg(3 + 2x - x^2)}{2 - x}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} 3 + 2x - x^2 > 0 \\ 2 - x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3 + 2x - x^2 > 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 2x - 3 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$.

С помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = 3$.

Так как парабола $y = x^2 - 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть при $x \in (-1, 3)$.

Решим второе условие:

$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$.

Пересечением решений $x \in (-1, 3)$ и $x \neq 2$ является объединение интервалов $(-1, 2) \cup (2, 3)$.

Ответ: $D(f) = (-1, 2) \cup (2, 3)$.

2) Область определения функции $f(x) = \frac{\ln(x^2 + 5x)}{x - 7}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 5x > 0 \\ x - 7 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 5x > 0$

$x(x + 5) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x+5)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Парабола $y = x^2 + 5x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней: $x < -5$ или $x > 0$.

Решение в виде интервалов: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

Решим второе условие:

$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$.

Исключим точку $x=7$ из множества $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$. Так как $7 > 0$, точка $x=7$ принадлежит интервалу $(0, +\infty)$.

Получаем область определения: $(-\infty, -5) \cup (0, 7) \cup (7, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -5) \cup (0, 7) \cup (7, +\infty)$.

3) Область определения функции $f(x) = \lg |x - 3| + \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ является пересечением областей определения двух слагаемых.

1. Для $\lg |x - 3|$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $|x - 3| > 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x-3=0$, то есть $x \neq 3$.

2. Для $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля: $x - 2 > 0$.

Отсюда $x > 2$.

Найдем пересечение этих двух условий:

$\begin{cases} x \neq 3 \\ x > 2 \end{cases}$

Решением системы является объединение интервалов $(2, 3) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x) = 10\lg |x + 4| - \frac{3}{\sqrt{8 - x}}$ является пересечением областей определения уменьшаемого и вычитаемого.

1. Для $10\lg |x + 4|$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $|x + 4| > 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x+4=0$, то есть $x \neq -4$.

2. Для $\frac{3}{\sqrt{8 - x}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля: $8 - x > 0$.

Отсюда $x < 8$.

Найдем пересечение этих двух условий:

$\begin{cases} x \neq -4 \\ x < 8 \end{cases}$

Решением системы является множество всех чисел, меньших 8, за исключением -4.

В виде интервалов это записывается как $(-\infty, -4) \cup (-4, 8)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -4) \cup (-4, 8)$.