Номер 21.6, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.6. 1) $f(x) = \log_{\frac{1}{4}}(2 - x);$

2) $f(x) = \log_{2.5}(5 - 2x);$

3) $f(x) = \log_{5}(11 - 4x);$

4) $f(x) = \log_{7}(6 - 5x).$

1) Для функции $f(x) = \log_{\frac{1}{4}}(2 - x)$ необходимо найти область определения. Область определения логарифмической функции $y = \log_a(b)$ задается условием, что ее аргумент (выражение под знаком логарифма) должен быть строго положительным: $b > 0$. Также, основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$). В данном случае основание $a = \frac{1}{4}$ удовлетворяет этим условиям, так как $0 < \frac{1}{4} < 1$. Поэтому, для нахождения области определения функции, необходимо решить неравенство: $2 - x > 0$. Перенесем $-x$ в правую часть неравенства, сменив знак: $2 > x$. Это неравенство можно записать как $x < 2$. Таким образом, область определения данной функции — это все действительные числа, которые меньше 2. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

2) Для функции $f(x) = \log_{2.5}(5 - 2x)$ найдем ее область определения. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Основание логарифма $a = 2.5$ является корректным, так как $2.5 > 0$ и $2.5 \neq 1$. Составим и решим соответствующее неравенство: $5 - 2x > 0$. Перенесем $-2x$ в правую часть: $5 > 2x$. Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не меняется, так как 2 > 0): $\frac{5}{2} > x$, или $x < 2.5$. Следовательно, область определения функции представляет собой интервал $(-\infty; 2.5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2.5)$.

3) Найдем область определения функции $f(x) = \log_{5}(11 - 4x)$. Условием существования логарифма является положительность его аргумента. Основание $a = 5$ удовлетворяет требованиям ($5 > 0$, $5 \neq 1$). Решим неравенство: $11 - 4x > 0$. Перенесем $-4x$ в правую часть: $11 > 4x$. Разделим обе части на 4: $\frac{11}{4} > x$. Это неравенство можно записать как $x < \frac{11}{4}$ или $x < 2.75$. Областью определения является интервал $(-\infty; \frac{11}{4})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{4})$.

4) Определим область определения для функции $f(x) = \log_{7}(6 - 5x)$. Аргумент логарифма должен быть положительным. Основание $a=7$ является допустимым ($7 > 0$, $7 \neq 1$). Решаем неравенство: $6 - 5x > 0$. Переносим $-5x$ в правую часть: $6 > 5x$. Разделим обе части на 5: $\frac{6}{5} > x$. Это неравенство эквивалентно $x < \frac{6}{5}$ или $x < 1.2$. Таким образом, область определения функции — это интервал $(-\infty; \frac{6}{5})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{6}{5})$.