Номер 21.8, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.8. Постройте схематически график функции $y = f(x)$ и перечислите ее свойства:

1) $f(x) = \log_3 x + 2;$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x - 4;$

3) $f(x) = -\log_2 x;$

4) $f(x) = 2 - \frac{1}{3}\log_4 (x + 3).$

1) $f(x) = \log_3 x + 2$;

График функции $f(x) = \log_3 x + 2$ получается из графика основной логарифмической функции $y = \log_3 x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вверх. Так как основание логарифма $3 > 1$, исходная функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Сдвиг вверх не меняет монотонность. Вертикальная асимптота $x=0$ также сохраняется.

Свойства функции:

• Область определения: аргумент логарифма должен быть положителен, $x > 0$. Таким образом, $D(f) = (0; +\infty)$.

• Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Монотонность: функция является возрастающей на всей области определения.

• Нули функции (пересечение с осью $Ox$): $f(x)=0 \implies \log_3 x + 2 = 0 \implies \log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Точка пересечения: $(\frac{1}{9}, 0)$.

• Пересечение с осью $Oy$: отсутствует, так как $x=0$ не входит в область определения.

• Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 0$.

• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида), так как ее область определения несимметрична относительно начала координат.

Ответ: График функции — возрастающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $x=0$, полученная сдвигом графика $y=\log_3 x$ на 2 единицы вверх. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, возрастает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x = 1/9$.

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x - 4$;

График функции $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x - 4$ получается из графика функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на 4 единицы вниз. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, исходная функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. Сдвиг вниз не меняет монотонность. Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.

Свойства функции:

• Область определения: $x > 0$. Таким образом, $D(f) = (0; +\infty)$.

• Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Монотонность: функция является убывающей на всей области определения.

• Нули функции (пересечение с осью $Ox$): $f(x)=0 \implies \log_{\frac{1}{2}} x - 4 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}} x = 4 \implies x = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$. Точка пересечения: $(\frac{1}{16}, 0)$.

• Пересечение с осью $Oy$: отсутствует.

• Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 0$.

• Четность: функция общего вида.

Ответ: График функции — убывающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $x=0$, полученная сдвигом графика $y=\log_{\frac{1}{2}} x$ на 4 единицы вниз. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x = 1/16$.

3) $f(x) = -\log_2 x$;

График функции $f(x) = -\log_2 x$ получается из графика функции $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$. Исходная функция $y = \log_2 x$ возрастающая (основание $2>1$), поэтому после отражения функция $f(x)$ становится убывающей. Также можно заметить, что $-\log_2 x = \log_{2^{-1}} x = \log_{\frac{1}{2}} x$. Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.

Свойства функции:

• Область определения: $x > 0$. Таким образом, $D(f) = (0; +\infty)$.

• Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Монотонность: функция является убывающей на всей области определения.

• Нули функции (пересечение с осью $Ox$): $f(x)=0 \implies -\log_2 x = 0 \implies \log_2 x = 0 \implies x = 2^0 = 1$. Точка пересечения: $(1, 0)$.

• Пересечение с осью $Oy$: отсутствует.

• Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 0$.

• Четность: функция общего вида.

Ответ: График функции — убывающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $x=0$, полученная отражением графика $y=\log_2 x$ относительно оси $Ox$. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x = 1$.

4) $f(x) = 2 - \log_4(x + 3)$.

График функции $f(x) = 2 - \log_4(x + 3)$ получается из графика $y = \log_4 x$ последовательностью преобразований: сдвиг влево на 3 единицы, отражение относительно оси $Ox$ и сдвиг вверх на 2 единицы. Сдвиг влево переносит вертикальную асимптоту в точку $x=-3$. Отражение меняет монотонность с возрастающей на убывающую.

Свойства функции:

• Область определения: $x+3 > 0 \implies x > -3$. Таким образом, $D(f) = (-3; +\infty)$.

• Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Монотонность: функция является убывающей на всей области определения из-за знака "минус" перед логарифмом.

• Нули функции (пересечение с осью $Ox$): $f(x)=0 \implies 2 - \log_4(x+3) = 0 \implies \log_4(x+3) = 2 \implies x+3 = 4^2 = 16 \implies x=13$. Точка пересечения: $(13, 0)$.

• Пересечение с осью $Oy$: $f(0) = 2 - \log_4(0+3) = 2 - \log_4 3$. Точка пересечения: $(0, 2 - \log_4 3)$.

• Асимптоты: вертикальная асимптота $x = -3$.

• Четность: функция общего вида.

Ответ: График функции — убывающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $x=-3$. Свойства: $D(f) = (-3; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(-3; +\infty)$, нуль функции $x = 13$, пересечение с осью $Oy$ в точке $(0, 2 - \log_4 3)$.