Номер 21.1, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.1. Постройте схематически график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \log_5 x$;

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{7}} x$;

3) $f(x) = \log_{12.4} x$;

4) $f(x) = \log_{0.9} x$.

Для построения схематического графика логарифмической функции $y = \log_a x$ необходимо определить ключевые свойства, которые зависят от основания $a$.

Основные свойства:

• Область определения: $x > 0$. График всегда находится в правой полуплоскости.
• График всегда проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_a 1 = 0$ для любого $a > 0, a \neq 1$.
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.
• Если основание $a > 1$, функция возрастает. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Применим эти свойства к каждой из заданных функций.

1) f(x) = log₅x

В данной функции основание логарифма $a=5$. Поскольку $a > 1$, функция является возрастающей.

Область определения функции: $x \in (0; +\infty)$.

График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_5 1 = 0$.

Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

Для уточнения графика найдем еще одну точку. При $x=5$, $y = \log_5 5 = 1$. Значит, график проходит через точку $(5, 1)$.

Схематически график представляет собой кривую, которая начинается вблизи оси $Oy$ снизу, плавно поднимается, пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, проходит через точку $(5, 1)$ и продолжает расти вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \log_5 x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(5, 1)$, с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

2) f(x) = log₁/₇x

В данной функции основание логарифма $a=\frac{1}{7}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Область определения функции: $x \in (0; +\infty)$.

График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{7}} 1 = 0$.

Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Для уточнения графика найдем еще одну точку. При $x=\frac{1}{7}$, $y = \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7} = 1$. Значит, график проходит через точку $(\frac{1}{7}, 1)$.

Схематически график представляет собой кривую, которая начинается вблизи оси $Oy$ сверху, плавно опускается, проходит через точку $(\frac{1}{7}, 1)$, пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$ и продолжает убывать вправо и вниз.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{7}} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точки $(\frac{1}{7}, 1)$ и $(1, 0)$, с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

3) f(x) = log₁₂,₄x

В данной функции основание логарифма $a=12.4$. Поскольку $a > 1$, функция является возрастающей.

Область определения функции: $x \in (0; +\infty)$.

График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{12.4} 1 = 0$.

Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

Для уточнения графика найдем еще одну точку. При $x=12.4$, $y = \log_{12.4} 12.4 = 1$. Значит, график проходит через точку $(12.4, 1)$.

Схематически график похож на график из пункта 1, но растет медленнее, т.е. является более пологим. Он начинается вблизи оси $Oy$ снизу, поднимается, пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, проходит через точку $(12.4, 1)$ и продолжает медленно расти.

Ответ: График функции $y = \log_{12.4} x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(12.4, 1)$, с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

4) f(x) = log₀,₉x

В данной функции основание логарифма $a=0.9$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Область определения функции: $x \in (0; +\infty)$.

График функции проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{0.9} 1 = 0$.

Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Для уточнения графика найдем еще одну точку. При $x=0.9$, $y = \log_{0.9} 0.9 = 1$. Значит, график проходит через точку $(0.9, 1)$.

Схематически график похож на график из пункта 2, но убывает медленнее, так как основание $0.9$ ближе к 1, чем $\frac{1}{7}$. Он начинается вблизи оси $Oy$ сверху, опускается, проходит через точку $(0.9, 1)$, пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$ и продолжает медленно убывать.

Ответ: График функции $y = \log_{0.9} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точки $(0.9, 1)$ и $(1, 0)$, с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.