Номер 21.5, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите области определений функции $y = f(x)$ (21.5-21.7):

21.5. 1) $f(x) = \log_2(x + 1)$; 2) $f(x) = \log_{0,7}(x - 8)$;

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(3x + 4)$; 4) $f(x) = \log_5(2x - 1)$.

1) Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ находится из условия, что аргумент логарифма $f(x)$ должен быть строго положительным. Для функции $f(x) = \log_2(x + 1)$ аргументом является выражение $x + 1$. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$x + 1 > 0$

Перенеся 1 в правую часть, получаем:

$x > -1$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие $-1$. В виде интервала это записывается как $(-1; +\infty)$.

Ответ: $(-1; +\infty)$

2) Для функции $f(x) = \log_{0.1}(x - 8)$ аргумент логарифма равен $x - 8$. Область определения находится из условия, что аргумент должен быть положительным. Составим и решим неравенство:

$x - 8 > 0$

Перенеся -8 в правую часть, получаем:

$x > 8$

Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, которые строго больше 8. В виде интервала это записывается как $(8; +\infty)$.

Ответ: $(8; +\infty)$

3) Для функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(3x + 4)$ аргумент логарифма равен $3x + 4$. Потребуем, чтобы аргумент был строго больше нуля, и решим соответствующее неравенство:

$3x + 4 > 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$3x > -4$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x > -\frac{4}{3}$

Таким образом, область определения функции — это интервал $(-\frac{4}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(-\frac{4}{3}; +\infty)$

4) Для функции $f(x) = \log_5(2x - 1)$ аргумент логарифма равен $2x - 1$. Область определения функции находится из условия, что аргумент логарифма должен быть положительным. Решим неравенство:

$2x - 1 > 0$

Перенесем -1 в правую часть:

$2x > 1$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x > \frac{1}{2}$

Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, которые строго больше $\frac{1}{2}$. В виде интервала это записывается как $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; +\infty)$