Номер 21.9, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.9. Постройте график обратной функции к функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 4^x$;

2) $f(x) = 0.2^x$;

3) $f(x) = 2^{x+1}$;

4) $f(x) = 3^x - 2$.

1) Чтобы найти функцию, обратную к $y = 4^x$, необходимо поменять местами переменные $x$ и $y$ и затем выразить $y$. Исходное уравнение: $y = 4^x$. Меняем переменные: $x = 4^y$. Теперь, чтобы выразить $y$, используем определение логарифма: если $a^c = b$, то $c = \log_a b$. В нашем случае, $y = \log_4 x$. Это и есть искомая обратная функция.

График обратной функции $g(x) = \log_4 x$ является зеркальным отражением графика исходной функции $f(x) = 4^x$ относительно прямой $y=x$. Для построения можно найти несколько точек для $f(x)$, например, $(0, 1)$, $(1, 4)$, $( -1, 1/4)$, а затем поменять в них координаты местами, чтобы получить точки для $g(x)$: $(1, 0)$, $(4, 1)$, $(1/4, -1)$.

Основные свойства графика $y = \log_4 x$ для его построения:

Область определения: $x > 0$, то есть $(0; +\infty)$.

Область значений: все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось $Oy$).

Поведение: функция является возрастающей, так как основание $4 > 1$.

Ответ: $y = \log_4 x$.

2) Дана функция $y = 0.2^x$. Представим $0.2$ в виде дроби: $y = (\frac{1}{5})^x$. Для нахождения обратной функции поменяем местами $x$ и $y$: $x = (\frac{1}{5})^y$. Выразим $y$ через $x$ по определению логарифма: $y = \log_{1/5} x$ или $y = \log_{0.2} x$.

График обратной функции $g(x) = \log_{0.2} x$ симметричен графику исходной функции $f(x) = 0.2^x$ относительно прямой $y=x$. Для построения графика $f(x)$ можно взять точки $(0, 1)$, $(1, 0.2)$, $(-1, 5)$. Тогда для графика $g(x)$ соответствующими точками будут $(1, 0)$, $(0.2, 1)$, $(5, -1)$.

Основные свойства графика $y = \log_{0.2} x$ для его построения:

Область определения: $x > 0$, то есть $(0; +\infty)$.

Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: $x=0$.

Поведение: функция является убывающей, так как основание $0.2 \in (0, 1)$.

Ответ: $y = \log_{0.2} x$.

3) Дана функция $y = 2^{x+1}$. Поменяем местами переменные: $x = 2^{y+1}$. Чтобы выразить $y$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: $\log_2 x = \log_2(2^{y+1})$. По свойству логарифма $\log_a(a^b)=b$, получаем $\log_2 x = y+1$. Отсюда $y = \log_2 x - 1$.

График обратной функции $g(x) = \log_2 x - 1$ симметричен графику $f(x) = 2^{x+1}$ относительно прямой $y=x$. График $f(x)$ — это график $y=2^x$, сдвинутый на 1 влево. График $g(x)$ — это график $y=\log_2 x$, сдвинутый на 1 вниз. Ключевые точки для $f(x)$: $(-1, 1)$, $(0, 2)$, $(1, 4)$. Соответствующие точки для $g(x)$: $(1, -1)$, $(2, 0)$, $(4, 1)$.

Основные свойства графика $y = \log_2 x - 1$ для его построения:

Область определения: $x > 0$, то есть $(0; +\infty)$.

Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: $x=0$.

Поведение: функция возрастающая, так как основание $2 > 1$.

Ответ: $y = \log_2 x - 1$.

4) Дана функция $y = 3^x - 2$. Меняем местами $x$ и $y$: $x = 3^y - 2$. Сначала изолируем показательный член: $x + 2 = 3^y$. Теперь, по определению логарифма, выражаем $y$: $y = \log_3(x+2)$.

График обратной функции $g(x) = \log_3(x+2)$ симметричен графику $f(x) = 3^x - 2$ относительно прямой $y=x$. График $f(x)$ — это график $y=3^x$, сдвинутый на 2 вниз (горизонтальная асимптота $y=-2$). График $g(x)$ — это график $y=\log_3 x$, сдвинутый на 2 влево (вертикальная асимптота $x=-2$). Ключевые точки для $f(x)$: $(0, -1)$, $(1, 1)$. Соответствующие точки для $g(x)$: $(-1, 0)$, $(1, 1)$.

Основные свойства графика $y = \log_3(x+2)$ для его построения:

Область определения: аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+2 > 0 \implies x > -2$. Таким образом, область определения $(-2; +\infty)$.

Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: $x=-2$.

Поведение: функция возрастающая, так как основание $3 > 1$.

Ответ: $y = \log_3(x+2)$.