Номер 21.11, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.11. 1) $f(x) = \log_3(x(x - 3)) - \log_3(x + 4)$;

2) $f(x) = \ln(3 + 5x) - \ln(4 - 9x^2)$;

3) $f(x) = \log_{0.5}(x^2 + x) + \sqrt{2 - x}$;

4) $f(x) = \sqrt{1 - x} + \ln(9 - x^2)$.

1) Область определения функции $f(x) = \log_3(x(x - 3)) - \log_3(x + 4)$ находится из условия, что выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} x(x - 3) > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство $x(x - 3) > 0$. Корни соответствующего уравнения $x(x-3)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=3$. Графиком функции $y=x(x-3)$ является парабола с ветвями, направленными вверх, следовательно, неравенство выполняется на интервалах $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

Решим второе неравенство $x + 4 > 0$, откуда получаем $x > -4$, то есть $x \in (-4, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $ ((- \infty, 0) \cup (3, +\infty)) \cap (-4, +\infty) $.

Пересечение дает нам объединение интервалов $(-4, 0) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-4, 0) \cup (3, +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \ln(3 + 5x) - \ln(4 - 9x^2)$ находится из условия, что выражения под знаком натурального логарифма должны быть строго положительными. Запишем систему неравенств:

$ \begin{cases} 3 + 5x > 0 \\ 4 - 9x^2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $5x > -3$, то есть $x > -3/5$.

Решим второе неравенство: $4 - 9x^2 > 0 \implies 9x^2 < 4 \implies x^2 < 4/9$. Это неравенство эквивалентно $|x| < 2/3$, что означает $-2/3 < x < 2/3$.

Найдем пересечение решений: $x > -3/5$ и $-2/3 < x < 2/3$. Так как $-2/3 \approx -0.667$ и $-3/5 = -0.6$, то $-2/3 < -3/5$. Таким образом, пересечением интервалов $(-3/5, +\infty)$ и $(-2/3, 2/3)$ является интервал $(-3/5, 2/3)$.

Ответ: $D(f) = (-3/5, 2/3)$.

3) Функция $f(x) = \log_{0.5}(x^2 + x) + \sqrt{2 - x}$ определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, а выражение под знаком логарифма строго положительно. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + x > 0 \\ 2 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство $x^2 + x > 0 \implies x(x+1) > 0$. Корнями уравнения $x(x+1)=0$ являются $x_1=-1$ и $x_2=0$. Графиком является парабола с ветвями вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

Решим второе неравенство $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$, что соответствует множеству $(-\infty, 2]$.

Найдем пересечение этих множеств: $((-\infty, -1) \cup (0, +\infty)) \cap (-\infty, 2]$.

Пересечение $(-\infty, -1)$ и $(-\infty, 2]$ дает $(-\infty, -1)$.

Пересечение $(0, +\infty)$ и $(-\infty, 2]$ дает $(0, 2]$.

Объединяя результаты, получаем область определения.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -1) \cup (0, 2]$.

4) Область определения функции $f(x) = \sqrt{1 - x} + \ln(9 - x^2)$ находится из следующих условий: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — строго положительным. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 9 - x^2 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$. Это соответствует интервалу $(-\infty, 1]$.

Решим второе неравенство: $9 - x^2 > 0 \implies x^2 < 9$. Это неравенство эквивалентно $|x| < 3$, что означает $-3 < x < 3$. Это соответствует интервалу $(-3, 3)$.

Найдем пересечение полученных множеств: $(-\infty, 1] \cap (-3, 3)$.

Пересечением является интервал $(-3, 1]$.

Ответ: $D(f) = (-3, 1]$.