Номер 21.14, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.14. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \log_{x-2} \left(\frac{2x}{x+1} - 1\right)$;

2) $f(x) = \log_{x+5} \left(\frac{3x+2}{2x-1}\right)$;

3) $f(x) = \log_{x-1} \left(\frac{x}{9-x^2}\right)$;

4) $f(x) = \log_{3-x} \frac{x^2-4}{x}$.

1) Область определения функции $y = \log_{a(x)} b(x)$ находится из системы неравенств: $ \begin{cases} a(x) > 0 \\ a(x) \neq 1 \\ b(x) > 0 \end{cases} $ Для функции $f(x) = \log_{x-2} \left(\frac{2x}{x+1} - 1\right)$ имеем: $ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 2 \neq 1 \\ \frac{2x}{x+1} - 1 > 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство системы:

1) $x - 2 > 0 \implies x > 2$

2) $x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3$

3) $\frac{2x}{x+1} - 1 > 0 \implies \frac{2x - (x+1)}{x+1} > 0 \implies \frac{x-1}{x+1} > 0$

Решим последнее неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=-1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -1)$, дробь положительна.

- При $x \in (-1; 1)$, дробь отрицательна.

- При $x \in (1; +\infty)$, дробь положительна.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех условий: $x > 2$, $x \neq 3$ и $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Пересечением интервалов $(2; +\infty)$ и $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ является интервал $(2; +\infty)$. Учитывая условие $x \neq 3$, получаем область определения.

Ответ: $x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \log_{x+5} \left(\frac{3x+2}{2x-1}\right)$ система неравенств для нахождения области определения выглядит так: $ \begin{cases} x + 5 > 0 \\ x + 5 \neq 1 \\ \frac{3x+2}{2x-1} > 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство:

1) $x + 5 > 0 \implies x > -5$

2) $x + 5 \neq 1 \implies x \neq -4$

3) $\frac{3x+2}{2x-1} > 0$

Решим последнее неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = -2/3$ и $x = 1/2$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -2/3)$, $(-2/3; 1/2)$, $(1/2; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -2/3)$, дробь положительна.

- При $x \in (-2/3; 1/2)$, дробь отрицательна.

- При $x \in (1/2; +\infty)$, дробь положительна.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений всех условий: $x > -5$, $x \neq -4$ и $x \in (-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$.

Пересекая интервал $(-5; +\infty)$ с объединением $(-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$, получаем $(-5; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$. Исключая точку $x=-4$ из этого множества, получаем конечную область определения.

Ответ: $x \in (-5; -4) \cup (-4; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \log_{x-1} \left(\frac{x}{9-x^2}\right)$ система неравенств: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \\ \frac{x}{9-x^2} > 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство:

1) $x - 1 > 0 \implies x > 1$

2) $x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$

3) $\frac{x}{9-x^2} > 0 \implies \frac{x}{(3-x)(3+x)} > 0$

Решим последнее неравенство методом интервалов. Корни: $x=0$, $x=3$, $x=-3$. Они разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 3)$, $(3; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -3)$, выражение $\frac{x}{(3-x)(3+x)}$ положительно.

- При $x \in (-3; 0)$, выражение отрицательно.

- При $x \in (0; 3)$, выражение положительно.

- При $x \in (3; +\infty)$, выражение отрицательно.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)$.

Найдем пересечение решений всех условий: $x > 1$, $x \neq 2$ и $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)$.

Пересечение интервала $(1; +\infty)$ с множеством $(-\infty; -3) \cup (0; 3)$ дает интервал $(1; 3)$. Из этого интервала нужно исключить точку $x=2$.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; 3)$.

4) Для функции $f(x) = \log_{3-x} \frac{x^2-4}{x}$ система неравенств: $ \begin{cases} 3 - x > 0 \\ 3 - x \neq 1 \\ \frac{x^2-4}{x} > 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство:

1) $3 - x > 0 \implies x < 3$

2) $3 - x \neq 1 \implies x \neq 2$

3) $\frac{x^2-4}{x} > 0 \implies \frac{(x-2)(x+2)}{x} > 0$

Решим последнее неравенство методом интервалов. Корни: $x=2$, $x=-2$, $x=0$. Они разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -2)$, выражение $\frac{(x-2)(x+2)}{x}$ отрицательно.

- При $x \in (-2; 0)$, выражение положительно.

- При $x \in (0; 2)$, выражение отрицательно.

- При $x \in (2; +\infty)$, выражение положительно.

Решение неравенства: $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений всех условий: $x < 3$, $x \neq 2$ и $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$.

Пересечение интервала $(-\infty; 3)$ с множеством $(-2; 0) \cup (2; +\infty)$ дает $(-2; 0) \cup (2; 3)$. Условие $x \neq 2$ уже выполнено, так как точка 2 не входит в полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (2; 3)$.