Номер 21.16, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.16. Решите уравнение с помощью замены переменной на множестве комплексных чисел:

1) $z^4 - z^2 - 12 = 0;$

2) $z^4 - 5z^2 - 36 = 0;$

3) $z - 3 + 2\sqrt{z - 3} = 8;$

4) $(z + 1)^2(z^2 + 2z) = 12.$

1) $z^4 - z^2 - 12 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = z^2$. Тогда $z^4 = (z^2)^2 = t^2$.

Подставив новую переменную в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - t - 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Корни для $t$ равны:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $z$.

Случай 1: $t_1 = 4$.

$z^2 = 4$

Отсюда $z = \pm\sqrt{4}$, что дает два корня: $z_1 = 2$ и $z_2 = -2$.

Случай 2: $t_2 = -3$.

$z^2 = -3$

На множестве комплексных чисел $z = \pm\sqrt{-3} = \pm\sqrt{3 \cdot (-1)} = \pm i\sqrt{3}$. Это дает еще два корня: $z_3 = i\sqrt{3}$ и $z_4 = -i\sqrt{3}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = -2$, $z_3 = i\sqrt{3}$, $z_4 = -i\sqrt{3}$.

2) $z^4 - 5z^2 - 36 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Применим замену переменной: пусть $t = z^2$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 5t - 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь вернемся к переменной $z$, выполнив обратную замену.

Случай 1: $t_1 = 9$.

$z^2 = 9$

Корни: $z_1 = 3$, $z_2 = -3$.

Случай 2: $t_2 = -4$.

$z^2 = -4$

Корни: $z = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i$. Таким образом, $z_3 = 2i$ и $z_4 = -2i$.

Уравнение имеет четыре комплексных корня.

Ответ: $z_1 = 3$, $z_2 = -3$, $z_3 = 2i$, $z_4 = -2i$.

3) $z - 3 + 2\sqrt{z - 3} = 8$

Преобразуем уравнение, чтобы было удобнее сделать замену:

$(z - 3) + 2\sqrt{z - 3} - 8 = 0$

Введем замену $t = \sqrt{z - 3}$. Тогда $z - 3 = t^2$. Подставим в уравнение:

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Его можно решить разложением на множители:

$(t + 4)(t - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.

Теперь сделаем обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t_1 = 2$.

$\sqrt{z - 3} = 2$

Возводим обе части в квадрат: $z - 3 = 2^2 = 4$.

Отсюда $z = 4 + 3 = 7$.

Проверим решение: $7 - 3 + 2\sqrt{7-3} = 4 + 2\sqrt{4}$. В комплексных числах $\sqrt{4}$ имеет два значения: $2$ и $-2$. Если выбрать значение $2$, то $4 + 2(2) = 8$. Равенство выполняется.

Случай 2: $t_2 = -4$.

$\sqrt{z - 3} = -4$

Возводим обе части в квадрат: $z - 3 = (-4)^2 = 16$.

Отсюда $z = 16 + 3 = 19$.

Проверим решение: $19 - 3 + 2\sqrt{19-3} = 16 + 2\sqrt{16}$. Чтобы равенство выполнялось, $2\sqrt{16}$ должно быть равно $8 - 16 = -8$, то есть $\sqrt{16} = -4$. Это одно из двух комплексных значений корня из 16, поэтому решение является верным.

Ответ: $z_1 = 7$, $z_2 = 19$.

4) $(z + 1)^2(z^2 + 2z) = 12$

Заметим, что выражение $(z+1)^2$ связано с выражением $z^2+2z$.

$(z+1)^2 = z^2 + 2z + 1$

Сделаем замену $t = z^2 + 2z$. Тогда $(z+1)^2 = t + 1$.

Подставим замену в уравнение:

$(t + 1)t = 12$

$t^2 + t - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители:

$(t + 4)(t - 3) = 0$

Корни для $t$: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $t_1 = 3$.

$z^2 + 2z = 3$

$z^2 + 2z - 3 = 0$

Раскладываем на множители: $(z + 3)(z - 1) = 0$.

Получаем два корня: $z_1 = 1$ и $z_2 = -3$.

Случай 2: $t_2 = -4$.

$z^2 + 2z = -4$

$z^2 + 2z + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$

Корни: $z = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}i}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$.

Получаем еще два корня: $z_3 = -1 + i\sqrt{3}$ и $z_4 = -1 - i\sqrt{3}$.

Всего уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 1$, $z_2 = -3$, $z_3 = -1 + i\sqrt{3}$, $z_4 = -1 - i\sqrt{3}$.