Номер 22.4, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.4. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x\ln x, x_0 = 0,5;$

2) $f(x) = \ln(x^2 + 2x), x_0 = 2.$

1) $f(x) = x\ln{x}, x_0 = 0,5$;

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = x\ln{x}$ и точки $x_0 = 0,5$ найдем все компоненты.

1. Значение функции в точке касания: $f(x_0) = f(0,5) = 0,5 \cdot \ln(0,5) = 0,5 \ln(2^{-1}) = -0,5\ln{2}$.

2. Производная функции находится по правилу производной произведения: $f'(x) = (x\ln{x})' = (x)'\ln{x} + x(\ln{x})' = 1 \cdot \ln{x} + x \cdot \frac{1}{x} = \ln{x} + 1$.

3. Значение производной в точке касания: $f'(x_0) = f'(0,5) = \ln(0,5) + 1 = \ln(2^{-1}) + 1 = 1 - \ln{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной: $y = -0,5\ln{2} + (1 - \ln{2})(x - 0,5)$.

5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $y = -0,5\ln{2} + (1 - \ln{2})x - 0,5(1 - \ln{2}) = -0,5\ln{2} + x - x\ln{2} - 0,5 + 0,5\ln{2} = (1 - \ln{2})x - 0,5$.

Ответ: $y = (1 - \ln{2})x - 0,5$.

2) $f(x) = \ln(x^2 + 2x), x_0 = 2$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = \ln(x^2 + 2x)$ и точки $x_0 = 2$ найдем все компоненты.

1. Значение функции в точке касания: $f(x_0) = f(2) = \ln(2^2 + 2 \cdot 2) = \ln(4+4) = \ln{8}$.

2. Производная функции находится по правилу производной сложной функции: $f'(x) = (\ln(x^2 + 2x))' = \frac{(x^2 + 2x)'}{x^2 + 2x} = \frac{2x+2}{x^2+2x}$.

3. Значение производной в точке касания: $f'(x_0) = f'(2) = \frac{2 \cdot 2 + 2}{2^2 + 2 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{4 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной: $y = \ln{8} + \frac{3}{4}(x - 2)$.

5. Раскроем скобки и упростим: $y = \ln{8} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{4}x + \ln{8} - \frac{3}{2}$.

Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \ln{8} - \frac{3}{2}$.