Номер 22.6, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.6. Докажите, что функция $y = f(x)$ убывает на заданном промежутке:

1) $f(x) = x \ln x$ и $(0; \frac{1}{e});$

2) $f(x) = x - \ln(2x - 1)$ и $(0,5; 1,5).$

Для того чтобы доказать, что функция $y = f(x)$ убывает на заданном промежутке, достаточно доказать, что ее производная $f'(x)$ отрицательна для всех $x$ из этого промежутка.

1) $f(x) = x \ln x$ и $(0; \frac{1}{e})$

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Теперь исследуем знак производной на интервале $(0; \frac{1}{e})$. Нам нужно показать, что $f'(x) < 0$ при $x \in (0; \frac{1}{e})$.

Решим неравенство $\ln x + 1 < 0$:

$\ln x < -1$

Поскольку $-1 = \ln(\frac{1}{e})$ и функция $y = \ln x$ является строго возрастающей, неравенство справедливо для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < x < \frac{1}{e}$.

Таким образом, производная $f'(x)$ отрицательна на всем интервале $(0; \frac{1}{e})$, а значит, функция $f(x) = x \ln x$ убывает на этом промежутке.

Ответ: Доказано.

2) $f(x) = x - \ln(2x - 1)$ и $(0,5; 1,5)$

Область определения функции находится из условия $2x - 1 > 0$, что дает $x > 0,5$. Заданный интервал $(0,5; 1,5)$ полностью входит в область определения функции.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x - \ln(2x - 1))' = (x)' - (\ln(2x - 1))' = 1 - \frac{1}{2x - 1} \cdot (2x - 1)' = 1 - \frac{2}{2x - 1}$.

Исследуем знак производной на интервале $(0,5; 1,5)$. Нам нужно показать, что $f'(x) < 0$ при $x \in (0,5; 1,5)$.

Решим неравенство $1 - \frac{2}{2x - 1} < 0$:

$1 < \frac{2}{2x - 1}$

На интервале $(0,5; 1,5)$ выражение $2x - 1$ положительно (так как $x > 0,5$ влечет $2x > 1$ и $2x - 1 > 0$). Поэтому можно умножить обе части неравенства на $2x - 1$, сохранив знак:

$2x - 1 < 2$

$2x < 3$

$x < 1,5$

Совмещая с областью определения ($x > 0,5$), получаем, что производная $f'(x)$ отрицательна при $x \in (0,5; 1,5)$.

Следовательно, функция $f(x) = x - \ln(2x - 1)$ убывает на интервале $(0,5; 1,5)$.

Ответ: Доказано.