Номер 22.3, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.3. Сравните с нулем:

1) $f'(1)$, если $f(x) = \log_{0.5} (2 + x)$;

2) $f'(4)$, если $f(x) = \log_{3} (5 + x)$;

3) $f'(4)$, если $f(x) = 0.2^{x - 3}$;

4) $f'(2)$, если $f(x) = 2.5^{x - 1}$.

1) $f'(1)$, если $f(x) = \log_{0,5}(2+x)$;

Чтобы сравнить значение производной $f'(1)$ с нулем, необходимо найти производную функции $f(x)$, подставить в нее значение $x=1$ и определить знак полученного выражения.

Для нахождения производной логарифмической функции используется формула $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \cdot \ln a}$.

В данном случае, основание логарифма $a = 0,5$, а аргумент $u(x) = 2+x$. Производная аргумента $u'(x) = (2+x)' = 1$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна: $f'(x) = (\log_{0,5}(2+x))' = \frac{1}{(2+x) \cdot \ln(0,5)}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x=1$: $f'(1) = \frac{1}{(2+1) \cdot \ln(0,5)} = \frac{1}{3 \ln(0,5)}$.

Оценим знак полученного выражения. Знаменатель дроби представляет собой произведение $3 \cdot \ln(0,5)$. Множитель $3$ является положительным числом. Так как основание натурального логарифма $e > 1$, а число под знаком логарифма $0,5 < 1$, то $\ln(0,5)$ является отрицательным числом. Произведение положительного числа на отрицательное дает отрицательный результат, поэтому знаменатель $3 \ln(0,5) < 0$.

Числитель дроби равен $1$, что является положительным числом. Деление положительного числа на отрицательное дает в результате отрицательное число.

Таким образом, $f'(1) < 0$.

Ответ: $f'(1) < 0$.

2) $f'(4)$, если $f(x) = \log_3(5+x)$;

Найдем производную функции $f(x) = \log_3(5+x)$ по формуле $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \cdot \ln a}$.

Здесь основание $a = 3$, аргумент $u(x) = 5+x$, и его производная $u'(x) = (5+x)' = 1$.

Производная функции $f(x)$ равна: $f'(x) = (\log_3(5+x))' = \frac{1}{(5+x) \cdot \ln 3}$.

Вычислим значение производной в точке $x=4$: $f'(4) = \frac{1}{(5+4) \cdot \ln 3} = \frac{1}{9 \ln 3}$.

Оценим знак этого выражения. Знаменатель $9 \ln 3$ является произведением двух положительных чисел: $9 > 0$ и $\ln 3 > 0$ (так как $3 > 1$). Произведение двух положительных чисел положительно, значит, знаменатель $9 \ln 3 > 0$.

Числитель дроби равен $1$ (положительное число). Деление положительного числа на положительное дает в результате положительное число.

Таким образом, $f'(4) > 0$.

Ответ: $f'(4) > 0$.

3) $f'(4)$, если $f(x) = 0,2^{x-3}$;

Для нахождения производной показательной функции $f(x) = 0,2^{x-3}$ используем формулу $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.

В данном случае основание $a = 0,2$, а показатель степени $u(x) = x-3$. Производная показателя $u'(x) = (x-3)' = 1$.

Производная функции $f(x)$ равна: $f'(x) = (0,2^{x-3})' = 0,2^{x-3} \cdot \ln(0,2) \cdot 1 = 0,2^{x-3} \ln(0,2)$.

Вычислим значение производной в точке $x=4$: $f'(4) = 0,2^{4-3} \cdot \ln(0,2) = 0,2^1 \cdot \ln(0,2) = 0,2 \ln(0,2)$.

Оценим знак полученного выражения. Выражение является произведением двух множителей: $0,2$ и $\ln(0,2)$.

Множитель $0,2$ является положительным числом. Множитель $\ln(0,2)$ является отрицательным числом, так как $0 < 0,2 < 1$.

Произведение положительного числа на отрицательное дает отрицательный результат.

Таким образом, $f'(4) < 0$.

Ответ: $f'(4) < 0$.

4) $f'(2)$, если $f(x) = 2,5^{x-1}$.

Найдем производную показательной функции $f(x) = 2,5^{x-1}$ по формуле $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.

Здесь основание $a = 2,5$, показатель степени $u(x) = x-1$, и его производная $u'(x) = (x-1)' = 1$.

Производная функции $f(x)$ равна: $f'(x) = (2,5^{x-1})' = 2,5^{x-1} \cdot \ln(2,5) \cdot 1 = 2,5^{x-1} \ln(2,5)$.

Вычислим значение производной в точке $x=2$: $f'(2) = 2,5^{2-1} \cdot \ln(2,5) = 2,5^1 \cdot \ln(2,5) = 2,5 \ln(2,5)$.

Оценим знак этого выражения. Выражение является произведением двух множителей: $2,5$ и $\ln(2,5)$.

Множитель $2,5$ является положительным числом. Множитель $\ln(2,5)$ также является положительным числом, так как $2,5 > 1$.

Произведение двух положительных чисел дает положительный результат.

Таким образом, $f'(2) > 0$.

Ответ: $f'(2) > 0$.