Номер 22.8, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.8. Вычислите значение производной функции f(x) в данной точке:

1) $f(x) = \frac{5^x}{x^2+1}$, $f'(1);$

2) $f(x) = \frac{\ln x}{x^3}$, $f'(e);$

3) $f(x) = e^{-x^2}$, $f'\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right).$

1) Дана функция $f(x) = \frac{5^x}{x^2+1}$. Необходимо найти значение ее производной в точке $x=1$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = 5^x$ и $v(x) = x^2+1$.

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (5^x)' = 5^x \ln 5$

$v'(x) = (x^2+1)' = 2x$

Теперь подставляем найденные производные в формулу:

$f'(x) = \frac{(5^x \ln 5)(x^2+1) - 5^x(2x)}{(x^2+1)^2}$

Вынесем $5^x$ за скобки в числителе для упрощения:

$f'(x) = \frac{5^x((x^2+1)\ln 5 - 2x)}{(x^2+1)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x=1$:

$f'(1) = \frac{5^1((1^2+1)\ln 5 - 2 \cdot 1)}{(1^2+1)^2} = \frac{5((1+1)\ln 5 - 2)}{(1+1)^2} = \frac{5(2\ln 5 - 2)}{2^2} = \frac{5 \cdot 2(\ln 5 - 1)}{4} = \frac{10(\ln 5 - 1)}{4} = \frac{5(\ln 5 - 1)}{2}$

Ответ: $\frac{5(\ln 5 - 1)}{2}$

2) Дана функция $f(x) = \frac{\ln x}{x^3}$. Необходимо найти значение ее производной в точке $x=e$.

Снова используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x^3$.

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

$v'(x) = (x^3)' = 3x^2$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - (\ln x) \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{x^2 - 3x^2 \ln x}{x^6}$

Сократим дробь, вынеся $x^2$ в числителе:

$f'(x) = \frac{x^2(1 - 3\ln x)}{x^6} = \frac{1 - 3\ln x}{x^4}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x=e$, зная, что $\ln e = 1$:

$f'(e) = \frac{1 - 3\ln e}{e^4} = \frac{1 - 3 \cdot 1}{e^4} = \frac{1 - 3}{e^4} = \frac{-2}{e^4}$

Ответ: $-\frac{2}{e^4}$

3) Дана функция $f(x) = e^{-x^2}$. Необходимо найти значение ее производной в точке $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Это сложная функция, для ее дифференцирования используем правило производной сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Внешняя функция $g(u) = e^u$, ее производная $g'(u) = e^u$.

Внутренняя функция $h(x) = -x^2$, ее производная $h'(x) = -2x$.

Применяем правило:

$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-x^2)' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$:

$f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}$

Упростим выражение:

$-2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$

Подставляем упрощенные части обратно:

$f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\sqrt{2} \cdot e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} = -\sqrt{\frac{2}{e}}$

Ответ: $-\sqrt{2}e^{-1/2}$