Номер 22.15, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.15. Сравните с нулем:

1) $f(-1)$, если $f(x) = e^{1-x} + \ln(1 - e^x)$;

2) $f(-0,5)$, если $f(x) = e^{1+2x} \ln(-x)$.

1) Чтобы сравнить значение производной $f'(-1)$ с нулем для функции $f(x) = e^{1-x} + \ln(1 - e^x)$, необходимо сначала найти производную этой функции.

Воспользуемся правилом дифференцирования суммы и цепным правилом (производная сложной функции).

Производная функции $f(x)$ находится как сумма производных ее слагаемых:

$f'(x) = (e^{1-x})' + (\ln(1 - e^x))'$

Найдем производную первого слагаемого:

$(e^{1-x})' = e^{1-x} \cdot (1-x)' = e^{1-x} \cdot (-1) = -e^{1-x}$.

Найдем производную второго слагаемого:

$(\ln(1 - e^x))' = \frac{1}{1 - e^x} \cdot (1 - e^x)' = \frac{1}{1 - e^x} \cdot (-e^x) = -\frac{e^x}{1 - e^x}$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = -e^{1-x} - \frac{e^x}{1 - e^x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = -e^{1 - (-1)} - \frac{e^{-1}}{1 - e^{-1}} = -e^2 - \frac{1/e}{1 - 1/e} = -e^2 - \frac{1/e}{(e-1)/e} = -e^2 - \frac{1}{e-1}$.

Оценим знак полученного выражения. Мы знаем, что число $e \approx 2.718$, то есть $e > 1$.

Следовательно, $e^2 > 0$, а $-e^2 < 0$.

Также $e - 1 > 0$, значит, дробь $\frac{1}{e-1} > 0$, а $-\frac{1}{e-1} < 0$.

В результате мы получили сумму двух отрицательных чисел ($-e^2$ и $-\frac{1}{e-1}$), которая всегда является отрицательным числом.

Значит, $f'(-1) < 0$.

Ответ: $f'(-1) < 0$.

2) Чтобы сравнить значение производной $f'(-0,5)$ с нулем для функции $f(x) = e^{1+2x} \ln(-x)$, необходимо сначала найти производную этой функции.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепным правилом.

Пусть $u(x) = e^{1+2x}$ и $v(x) = \ln(-x)$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (e^{1+2x})' = e^{1+2x} \cdot (1+2x)' = 2e^{1+2x}$.

$v'(x) = (\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$ по правилу произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2e^{1+2x}\ln(-x) + e^{1+2x} \cdot \frac{1}{x}$.

Вынесем общий множитель $e^{1+2x}$:

$f'(x) = e^{1+2x}(2\ln(-x) + \frac{1}{x})$.

Вычислим значение производной в точке $x = -0,5$:

$f'(-0,5) = e^{1+2(-0,5)}(2\ln(-(-0,5)) + \frac{1}{-0,5}) = e^{1-1}(2\ln(0,5) - 2) = e^0(2\ln(0,5) - 2) = 1 \cdot (2\ln(0,5) - 2) = 2(\ln(0,5) - 1)$.

Оценим знак полученного выражения.

Так как $0 < 0,5 < 1$, значение натурального логарифма $\ln(0,5)$ отрицательно ($\ln(0,5) < \ln(1) = 0$).

Разность $\ln(0,5) - 1$ является суммой двух отрицательных чисел, поэтому она отрицательна.

При умножении отрицательного числа $(\ln(0,5) - 1)$ на положительное число $2$, результат будет отрицательным.

Значит, $f'(-0,5) < 0$.

Ответ: $f'(-0,5) < 0$.