Страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.14. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \frac{1}{x}$, $x = 1$, $y = 4$, $x = e$;

2) $y = 1 + e^x$, $x = 0$, $x = -4$, $y = 3$.

1) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $x=1$, $y=4$ и $x=e$, вычисляется как определенный интеграл. Сначала необходимо определить, какая из функций является верхней, а какая нижней границей на интервале интегрирования по $x$ от $1$ до $e$.

На интервале $[1, e]$ значения функции $y = \frac{1}{x}$ находятся в диапазоне от $y(1) = \frac{1}{1} = 1$ до $y(e) = \frac{1}{e}$. Так как $4 > 1 \ge \frac{1}{x}$ для любого $x$ из данного интервала, то линия $y=4$ является верхней границей фигуры, а кривая $y=\frac{1}{x}$ — нижней.

Площадь $S$ находится как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{e} \left(4 - \frac{1}{x}\right) dx$

Вычислим первообразную:

$\int \left(4 - \frac{1}{x}\right) dx = 4x - \ln|x|$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [4x - \ln|x|]_{1}^{e} = (4e - \ln|e|) - (4 \cdot 1 - \ln|1|)$

Поскольку $\ln(e) = 1$ и $\ln(1) = 0$, получаем:

$S = (4e - 1) - (4 - 0) = 4e - 1 - 4 = 4e - 5$.

Ответ: $4e-5$.

2) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 + e^x$, $x=0$, $x=-4$ и $y=3$, также вычисляется с помощью определенного интеграла. Интервал интегрирования по $x$ — от $-4$ до $0$.

На интервале $[-4, 0]$ значения функции $y = 1 + e^x$ находятся в диапазоне от $y(-4) = 1 + e^{-4}$ до $y(0) = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2$.

Так как $3 > 2 \ge 1 + e^x$ для любого $x$ из данного интервала, то линия $y=3$ является верхней границей, а кривая $y=1+e^x$ — нижней.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-4}^{0} (3 - (1 + e^x)) dx = \int_{-4}^{0} (2 - e^x) dx$

Вычислим первообразную:

$\int (2 - e^x) dx = 2x - e^x$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [2x - e^x]_{-4}^{0} = (2 \cdot 0 - e^0) - (2 \cdot (-4) - e^{-4})$

Поскольку $e^0 = 1$, получаем:

$S = (0 - 1) - (-8 - e^{-4}) = -1 - (-8) - (-e^{-4}) = -1 + 8 + e^{-4} = 7 + e^{-4}$.

Ответ: $7 + e^{-4}$.

22.15. Сравните с нулем:

1) $f(-1)$, если $f(x) = e^{1-x} + \ln(1 - e^x)$;

2) $f(-0,5)$, если $f(x) = e^{1+2x} \ln(-x)$.

1) Чтобы сравнить значение производной $f'(-1)$ с нулем для функции $f(x) = e^{1-x} + \ln(1 - e^x)$, необходимо сначала найти производную этой функции.

Воспользуемся правилом дифференцирования суммы и цепным правилом (производная сложной функции).

Производная функции $f(x)$ находится как сумма производных ее слагаемых:

$f'(x) = (e^{1-x})' + (\ln(1 - e^x))'$

Найдем производную первого слагаемого:

$(e^{1-x})' = e^{1-x} \cdot (1-x)' = e^{1-x} \cdot (-1) = -e^{1-x}$.

Найдем производную второго слагаемого:

$(\ln(1 - e^x))' = \frac{1}{1 - e^x} \cdot (1 - e^x)' = \frac{1}{1 - e^x} \cdot (-e^x) = -\frac{e^x}{1 - e^x}$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = -e^{1-x} - \frac{e^x}{1 - e^x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = -e^{1 - (-1)} - \frac{e^{-1}}{1 - e^{-1}} = -e^2 - \frac{1/e}{1 - 1/e} = -e^2 - \frac{1/e}{(e-1)/e} = -e^2 - \frac{1}{e-1}$.

Оценим знак полученного выражения. Мы знаем, что число $e \approx 2.718$, то есть $e > 1$.

Следовательно, $e^2 > 0$, а $-e^2 < 0$.

Также $e - 1 > 0$, значит, дробь $\frac{1}{e-1} > 0$, а $-\frac{1}{e-1} < 0$.

В результате мы получили сумму двух отрицательных чисел ($-e^2$ и $-\frac{1}{e-1}$), которая всегда является отрицательным числом.

Значит, $f'(-1) < 0$.

Ответ: $f'(-1) < 0$.

2) Чтобы сравнить значение производной $f'(-0,5)$ с нулем для функции $f(x) = e^{1+2x} \ln(-x)$, необходимо сначала найти производную этой функции.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепным правилом.

Пусть $u(x) = e^{1+2x}$ и $v(x) = \ln(-x)$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (e^{1+2x})' = e^{1+2x} \cdot (1+2x)' = 2e^{1+2x}$.

$v'(x) = (\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$ по правилу произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2e^{1+2x}\ln(-x) + e^{1+2x} \cdot \frac{1}{x}$.

Вынесем общий множитель $e^{1+2x}$:

$f'(x) = e^{1+2x}(2\ln(-x) + \frac{1}{x})$.

Вычислим значение производной в точке $x = -0,5$:

$f'(-0,5) = e^{1+2(-0,5)}(2\ln(-(-0,5)) + \frac{1}{-0,5}) = e^{1-1}(2\ln(0,5) - 2) = e^0(2\ln(0,5) - 2) = 1 \cdot (2\ln(0,5) - 2) = 2(\ln(0,5) - 1)$.

Оценим знак полученного выражения.

Так как $0 < 0,5 < 1$, значение натурального логарифма $\ln(0,5)$ отрицательно ($\ln(0,5) < \ln(1) = 0$).

Разность $\ln(0,5) - 1$ является суммой двух отрицательных чисел, поэтому она отрицательна.

При умножении отрицательного числа $(\ln(0,5) - 1)$ на положительное число $2$, результат будет отрицательным.

Значит, $f'(-0,5) < 0$.

Ответ: $f'(-0,5) < 0$.

22.16. Докажите, что функция:

1) $y = 0,4^{1-5x}$ на множестве действительных чисел возрастает;

2) $f(x) = 2^{1-2x}$ на множестве действительных чисел убывает;

3) $\varphi(x) = x^3 + e^{x^2+3x}$ на множестве действительных чисел возрастает;

4) $h(x) = e^{-x} - x^5$ на множестве действительных чисел убывает.

1)

Для того чтобы доказать, что функция $y = 0,4^{1 - 5x}$ возрастает на множестве действительных чисел, необходимо найти ее производную и определить ее знак. Если производная положительна на всей области определения, то функция возрастает.

Функция $y$ является сложной показательной функцией вида $a^u$, где основание $a = 0,4$ и показатель $u(x) = 1 - 5x$. Производная такой функции ищется по формуле $(a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'$.

Найдем производную показателя: $u'(x) = (1 - 5x)' = -5$.

Теперь найдем производную исходной функции:

$y' = (0,4^{1 - 5x})' = 0,4^{1 - 5x} \cdot \ln(0,4) \cdot (-5)$.

Проанализируем знак полученной производной:

• Множитель $0,4^{1 - 5x}$ всегда положителен, так как это показательная функция с положительным основанием.
• Множитель $\ln(0,4)$ отрицателен, так как логарифм числа, которое меньше 1, всегда отрицателен.
• Множитель $(-5)$ также отрицателен.

Произведение положительного числа на два отрицательных числа дает положительный результат: $y' = (+) \cdot (-) \cdot (-) = (+)$.

Поскольку $y' > 0$ для всех $x$ из множества действительных чисел, функция $y = 0,4^{1 - 5x}$ является возрастающей на этом множестве. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы доказать, что функция $f(x) = 2^{1 - 2x}$ убывает на множестве действительных чисел, найдем ее производную. Если производная отрицательна на всей области определения, то функция убывает.

Функция $f(x)$ — это сложная показательная функция вида $a^u$, где $a = 2$ и $u(x) = 1 - 2x$. Ее производная равна $(a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'$.

Производная показателя: $u'(x) = (1 - 2x)' = -2$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (2^{1 - 2x})' = 2^{1 - 2x} \cdot \ln(2) \cdot (-2)$.

Проанализируем знак производной:

• Множитель $2^{1 - 2x}$ всегда положителен.
• Множитель $\ln(2)$ положителен, так как логарифм числа, которое больше 1, положителен.
• Множитель $(-2)$ отрицателен.

Произведение двух положительных чисел и одного отрицательного дает отрицательный результат: $f'(x) = (+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.

Так как $f'(x) < 0$ для всех действительных $x$, функция $f(x) = 2^{1 - 2x}$ убывает на множестве действительных чисел. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

3)

Чтобы доказать, что функция $\varphi(x) = x^3 + e^{2 + 3x}$ возрастает на множестве действительных чисел, найдем ее производную. Функция является суммой двух функций, поэтому ее производная равна сумме производных.

$\varphi'(x) = (x^3)' + (e^{2 + 3x})'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

$(x^3)' = 3x^2$.

Производная второго слагаемого, $(e^{2 + 3x})'$, ищется как производная сложной функции $e^u$: $(e^u)' = e^u \cdot u'$. Здесь $u(x) = 2+3x$, и $u'(x)=3$.

$(e^{2 + 3x})' = e^{2 + 3x} \cdot 3 = 3e^{2 + 3x}$.

Таким образом, производная функции $\varphi(x)$:

$\varphi'(x) = 3x^2 + 3e^{2 + 3x}$.

Определим знак производной. Слагаемое $3x^2$ всегда неотрицательно ($3x^2 \ge 0$). Слагаемое $3e^{2 + 3x}$ всегда строго положительно, так как экспонента $e^u$ всегда больше нуля. Сумма неотрицательного и строго положительного числа всегда строго положительна.

Следовательно, $\varphi'(x) > 0$ для всех $x \in R$, а значит, функция $\varphi(x)$ возрастает на множестве действительных чисел. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

4)

Чтобы доказать, что функция $h(x) = e^{-x} - x^5$ убывает на множестве действительных чисел, найдем ее производную. Производная разности равна разности производных.

$h'(x) = (e^{-x})' - (x^5)'$.

Найдем производные:

$(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

$(x^5)' = 5x^4$.

Тогда производная функции $h(x)$ равна:

$h'(x) = -e^{-x} - 5x^4$.

Определим знак производной. Слагаемое $-e^{-x}$ всегда строго отрицательно, так как $e^{-x}$ всегда положительно. Слагаемое $-5x^4$ всегда неположительно ($ \le 0$), так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Сумма строго отрицательного числа ($-e^{-x}$) и неположительного числа ($-5x^4$) всегда будет строго отрицательной. Если $x=0$, $h'(0) = -e^0 - 0 = -1 < 0$. Если $x \ne 0$, то $-5x^4 < 0$, и $h'(x)$ является суммой двух отрицательных чисел, что также меньше нуля.

Таким образом, $h'(x) < 0$ для всех $x \in R$, и функция $h(x) = e^{-x} - x^5$ убывает на множестве действительных чисел. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

22.17. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $g(x) = e^{3x-6}$, $x_0 = 2;$

2) $f(x) = x^{-2} \cdot \ln(4x + 3)$, $x_0 = -0,5;$

3) $f(x) = x^{-3} \cdot \ln(2x - 3)$, $x_0 = 2;$

4) $f(x) = x^{-2} \cdot e^{1+2x}$, $x_0 = -0,5.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для каждого случая необходимо найти значение функции $f(x_0)$ в точке касания, производную функции $f'(x)$ и значение производной в точке касания $f'(x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$ (здесь функция обозначена как $g(x)$):

$g(x_0) = g(2) = e^{3 \cdot 2 - 6} = e^{6-6} = e^0 = 1$.

2. Найдем производную функции $g(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$g'(x) = (e^{3x-6})' = e^{3x-6} \cdot (3x-6)' = 3e^{3x-6}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$g'(x_0) = g'(2) = 3e^{3 \cdot 2 - 6} = 3e^0 = 3$.

4. Подставим найденные значения $g(x_0) = 1$, $g'(x_0) = 3$ и $x_0 = 2$ в уравнение касательной $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$:

$y = 1 + 3(x - 2)$.

5. Упростим полученное уравнение:

$y = 1 + 3x - 6$

$y = 3x - 5$.

Ответ: $y = 3x - 5$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -0,5$:

$f(x_0) = f(-0,5) = (-0,5)^{-2} \cdot \ln(4(-0,5) + 3) = (-\frac{1}{2})^{-2} \cdot \ln(-2+3) = 4 \cdot \ln(1) = 4 \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^{-2})' \cdot \ln(4x+3) + x^{-2} \cdot (\ln(4x+3))'$

$f'(x) = -2x^{-3} \ln(4x+3) + x^{-2} \cdot \frac{1}{4x+3} \cdot 4 = -\frac{2\ln(4x+3)}{x^3} + \frac{4}{x^2(4x+3)}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -0,5$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = -\frac{2\ln(4(-0,5)+3)}{(-0,5)^3} + \frac{4}{(-0,5)^2(4(-0,5)+3)}$

Поскольку $\ln(4(-0,5)+3) = \ln(1) = 0$, первое слагаемое равно нулю.

$f'(-0,5) = 0 + \frac{4}{0,25 \cdot (1)} = \frac{4}{0,25} = 16$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$, $f'(x_0) = 16$ и $x_0 = -0,5$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 16(x - (-0,5)) = 16(x + 0,5)$.

5. Упростим уравнение:

$y = 16x + 8$.

Ответ: $y = 16x + 8$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = 2^{-3} \cdot \ln(2 \cdot 2 - 3) = \frac{1}{8} \cdot \ln(4-3) = \frac{1}{8} \cdot \ln(1) = \frac{1}{8} \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования произведения:

$f'(x) = (x^{-3})' \cdot \ln(2x-3) + x^{-3} \cdot (\ln(2x-3))'$

$f'(x) = -3x^{-4} \ln(2x-3) + x^{-3} \cdot \frac{1}{2x-3} \cdot 2 = -\frac{3\ln(2x-3)}{x^4} + \frac{2}{x^3(2x-3)}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = -\frac{3\ln(2 \cdot 2 - 3)}{2^4} + \frac{2}{2^3(2 \cdot 2 - 3)}$

Поскольку $\ln(2 \cdot 2 - 3) = \ln(1) = 0$, первое слагаемое равно нулю.

$f'(2) = 0 + \frac{2}{8 \cdot 1} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$, $f'(x_0) = 0,25$ и $x_0 = 2$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 0,25(x - 2)$.

5. Упростим уравнение:

$y = 0,25x - 0,5$.

Ответ: $y = 0,25x - 0,5$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -0,5$:

$f(x_0) = f(-0,5) = (-0,5)^{-2} \cdot e^{1+2(-0,5)} = (-\frac{1}{2})^{-2} \cdot e^{1-1} = 4 \cdot e^0 = 4 \cdot 1 = 4$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования произведения:

$f'(x) = (x^{-2})' \cdot e^{1+2x} + x^{-2} \cdot (e^{1+2x})'$

$f'(x) = -2x^{-3} e^{1+2x} + x^{-2} \cdot e^{1+2x} \cdot 2 = 2e^{1+2x}(-\frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^2})$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -0,5$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = -2(-0,5)^{-3} e^{1+2(-0,5)} + (-0,5)^{-2} \cdot 2e^{1+2(-0,5)}$

$f'(-0,5) = -2 \cdot (-8) \cdot e^0 + 4 \cdot 2 \cdot e^0 = 16 \cdot 1 + 8 \cdot 1 = 16 + 8 = 24$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 4$, $f'(x_0) = 24$ и $x_0 = -0,5$ в уравнение касательной:

$y = 4 + 24(x - (-0,5)) = 4 + 24(x + 0,5)$.

5. Упростим уравнение:

$y = 4 + 24x + 12$

$y = 24x + 16$.

Ответ: $y = 24x + 16$.

22.18. Найдите значения $x$, при которых производная функции

$y = x + 2\ln x$:

1) равна нулю;

2) положительна;

3) отрицательна;

4) неотрицательна.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $y = x + 2\ln x$ удовлетворяет заданным условиям, сначала найдем саму производную и ее область определения.

Область определения исходной функции $y = x + 2\ln x$ определяется условием $x > 0$, так как аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным. Таким образом, $D(y) = (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $y'$ по правилам дифференцирования:

$y' = (x + 2\ln x)' = (x)' + (2\ln x)' = 1 + 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 + \frac{2}{x}$.

Производная $y'$ определена для всех $x \neq 0$. Учитывая область определения исходной функции, мы будем рассматривать производную только при $x > 0$.

Теперь проанализируем производную $y' = 1 + \frac{2}{x}$ при $x > 0$.

Так как $x > 0$, то и дробь $\frac{2}{x} > 0$.

Следовательно, $y' = 1 + \frac{2}{x} > 1$. Это означает, что для всех $x$ из области определения функции ее производная строго больше 1.

Теперь ответим на вопросы задачи, основываясь на этом выводе.

1) равна нулю

Нужно найти $x$, при которых $y' = 0$.

$1 + \frac{2}{x} = 0$

$\frac{2}{x} = -1$

$x = -2$

Это значение не входит в область определения функции ($x > 0$). Также, как мы выяснили ранее, $y' > 1$ для всех допустимых $x$, поэтому производная никогда не может быть равна нулю.

Ответ: таких значений $x$ нет.

2) положительна

Нужно найти $x$, при которых $y' > 0$.

$1 + \frac{2}{x} > 0$

Так как для всех $x$ из области определения ($x > 0$) мы установили, что $y' > 1$, то неравенство $y' > 0$ выполняется для всех $x$ из области определения функции.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

3) отрицательна

Нужно найти $x$, при которых $y' < 0$.

$1 + \frac{2}{x} < 0$

Поскольку $y' > 1$ для всех $x > 0$, производная никогда не может быть отрицательной. Следовательно, это неравенство не имеет решений в области определения функции.

Ответ: таких значений $x$ нет.

4) неотрицательна

Нужно найти $x$, при которых $y' \ge 0$.

$1 + \frac{2}{x} \ge 0$

Это условие означает, что производная либо положительна, либо равна нулю. Мы уже знаем, что она никогда не равна нулю (в области определения), но всегда положительна. Таким образом, это условие выполняется для всех $x$ из области определения функции.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

22.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 - 2\ln x$ на промежутке $[2; e^2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2 - 2\ln x$ на промежутке $[2; e^2]$, необходимо исследовать функцию на этом отрезке.

1. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 2\ln x)' = 2x - 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - 2}{x}$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю. Область определения функции $x > 0$.

$f'(x) = 0 \implies \frac{2x^2 - 2}{x} = 0 \implies 2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1$.

Поскольку $x > 0$, получаем одну критическую точку $x = 1$.

3. Проанализируем поведение функции на отрезке $[2; e^2]$.

Критическая точка $x = 1$ не принадлежит данному отрезку.

Проверим знак производной $f'(x)$ на отрезке $[2; e^2]$. Для любого $x \in [2; e^2]$, выполняется неравенство $x \ge 2$, следовательно $x^2 \ge 4$, и $x^2 - 1 > 0$. Знаменатель $x$ также положителен на этом отрезке.

Таким образом, $f'(x) = \frac{2(x^2 - 1)}{x} > 0$ на всём отрезке $[2; e^2]$.

Это означает, что функция $f(x)$ является монотонно возрастающей на данном отрезке. Следовательно, своё наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение функции

Наименьшее значение функция достигает в точке $x = 2$.

$f_{min} = f(2) = 2^2 - 2\ln 2 = 4 - 2\ln 2$.

Ответ: $4 - 2\ln 2$.

Наибольшее значение функции

Наибольшее значение функция достигает в точке $x = e^2$.

$f_{max} = f(e^2) = (e^2)^2 - 2\ln(e^2) = e^4 - 2 \cdot (2\ln e) = e^4 - 4 \cdot 1 = e^4 - 4$.

Ответ: $e^4 - 4$.

22.20. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции $y = e^{2x}$, касательной к ней в точке (0; 1) и прямой $x=1$.

Для того чтобы вычислить площадь плоской фигуры, необходимо сначала найти уравнение касательной к графику функции $y = e^{2x}$ в точке $(0, 1)$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае, функция $f(x) = e^{2x}$ и точка касания имеет координаты $x_0 = 0$ и $y_0 = f(0) = e^{2 \cdot 0} = 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 0$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(0) = 2e^{2 \cdot 0} = 2e^0 = 2$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 2(x - 0)$

$y = 2x + 1$.

Таким образом, искомая фигура ограничена сверху графиком функции $y_1 = e^{2x}$, снизу — касательной $y_2 = 2x + 1$, слева — осью ординат (поскольку точка касания имеет абсциссу $x=0$), и справа — прямой $x = 1$.

Для того чтобы убедиться, что $e^{2x} \ge 2x + 1$ на отрезке $[0, 1]$, рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = e^{2x} - (2x + 1)$. Её производная $h'(x) = 2e^{2x} - 2 = 2(e^{2x} - 1)$. Для всех $x > 0$ значение $e^{2x} > 1$, следовательно, $h'(x) > 0$. Это означает, что функция $h(x)$ возрастает на интервале $(0, \infty)$. Так как $h(0) = e^0 - (0+1) = 0$, то при $x>0$ будет выполняться $h(x)>0$, а значит $e^{2x} > 2x + 1$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x=0$ до $x=1$:

$S = \int_{0}^{1} (e^{2x} - (2x + 1)) dx = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2x - 1) dx$.

Вычислим этот интеграл, применив формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} - x^2 - x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - 1^2 - 1 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} - 0^2 - 0 \right)$.

$S = \left( \frac{e^2}{2} - 1 - 1 \right) - \left( \frac{1}{2}e^0 \right) = \left( \frac{e^2}{2} - 2 \right) - \frac{1}{2}$.

$S = \frac{e^2}{2} - \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^2 - 5}{2}$.

Ответ: $\frac{e^2 - 5}{2}$.

22.21. Подготовьте сообщение о развитии понятий показательная и логарифмическая функции.

Развитие понятий показательной и логарифмической функций: от вычислительного инструмента к фундаментальным концепциям

История показательной и логарифмической функций — это увлекательный путь от практической необходимости упростить вычисления до осознания их фундаментальной роли в математике и естественных науках. Эти понятия развивались не одновременно: логарифмы были изобретены для нужд астрономии задолго до того, как показательная функция была осмыслена как самостоятельный математический объект.

1. Предшественники: от древности до эпохи Возрождения

Зачатки идей, лежащих в основе показательной функции, можно найти еще в древности. Математики Древнего Вавилона уже умели решать задачи на сложные проценты, что по своей сути является примером геометрической прогрессии — дискретного аналога показательной функции. Архимед в своей работе «Псаммит» («Исчисление песчинок») сопоставлял члены арифметической ($1, 2, 3, ...$) и геометрической ($10, 100, 1000, ...$) прогрессий, что является прообразом идеи логарифмирования, то есть замены умножения сложением.

В XV веке немецкий математик Михаэль Штифель в своем труде «Arithmetica integra» (1544 г.) систематизировал знания о степенях, ввел понятие отрицательных показателей и впервые использовал термин «показатель» (exponent). Он также составил небольшую таблицу, сопоставлявшую целые степени числа 2 (геометрическая прогрессия) и их показатели (арифметическая прогрессия), явно указав на то, что умножению и делению чисел в нижнем ряду соответствует сложение и вычитание чисел в верхнем ряду. Это было прямым шагом к изобретению логарифмов.

2. Изобретение логарифмов: революция в вычислениях (XVII век)

В конце XVI – начале XVII веков, в эпоху Великих географических открытий, резко возросла потребность в сложных астрономических и навигационных расчетах. Умножение и деление многозначных чисел, извлечение корней занимали огромное количество времени и приводили к ошибкам. Задача упрощения вычислений стала крайне актуальной.

Решение было найдено шотландским математиком Джоном Непером. В 1614 году он опубликовал свой труд «Описание удивительной таблицы логарифмов». Непер определил логарифм кинематически, сравнивая движение двух точек. Одна точка движется по отрезку с постоянной скоростью (ее пройденный путь — арифметическая прогрессия, то есть логарифм), а вторая — по другому отрезку так, что ее скорость пропорциональна оставшемуся пути (ее путь — геометрическая прогрессия, то есть само число). Это привело к созданию системы логарифмов, близкой к натуральным, но с основанием $1/e$. Главное свойство $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ позволило заменить трудоемкое умножение простым сложением.

Почти одновременно и независимо от Непера свою систему логарифмов разработал швейцарский математик и часовщик Йост Бюрги, но его таблицы были опубликованы позже, в 1620 году.

Идея Непера была с восторгом встречена научным сообществом. Английский профессор Генри Бригс предложил Неперу усовершенствовать систему, взяв за основание число 10. Так появились десятичные (или обыкновенные) логарифмы, которые оказались гораздо удобнее для практических вычислений. Таблицы логарифмов Бригса стали незаменимым инструментом для ученых, инженеров и мореплавателей на следующие 300 лет, вплоть до изобретения калькуляторов.

3. Становление показательной функции и гений Эйлера (XVIII век)

Изначально показательная функция $y = a^x$ не рассматривалась как самостоятельная функция. Она воспринималась лишь как операция, обратная к логарифмированию: если $x = \log_a y$, то $y$ — это «антилогарифм» числа $x$.

Ключевую роль в становлении современного понимания показательной и логарифмической функций сыграл великий математик Леонард Эйлер в XVIII веке. Именно он:

1. Ввел в математику показательную функцию $y=a^x$ и логарифмическую функцию $y=\log_a x$ как полноценные, взаимообратные функции.

2. Обосновал фундаментальную важность числа $e \approx 2.71828...$ (названного в его честь числом Эйлера) как «естественного» основания для показательной функции и логарифмов. Он показал, что производная функции $e^x$ равна самой себе: $(e^x)' = e^x$.

3. Определил показательную функцию и логарифм для комплексных чисел и вывел свою знаменитую формулу $e^{ix} = \cos x + i \sin x$, которая установила глубокую связь между показательной функцией, тригонометрическими функциями и комплексными числами.

Труды Эйлера превратили показательную и логарифмическую функции из чисто вычислительного средства в одни из важнейших объектов математического анализа.

4. Современное понимание и применение

В XIX веке, с развитием теории пределов, было дано строгое определение степени с иррациональным показателем. Например, $a^x$ для иррационального $x$ определяется как предел последовательности $a^{r_n}$, где $r_n$ — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $x$: $a^x = \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$.

Сегодня показательная и логарифмическая функции применяются практически во всех областях науки и техники для описания процессов, скорость которых пропорциональна текущему значению величины:

- Физика: радиоактивный распад, барометрическая формула, затухающие колебания.

- Биология и экология: рост популяций бактерий, модели "хищник-жертва".

- Экономика: расчет сложных процентов, модели экономического роста.

- Химия: скорость химических реакций, шкала кислотности pH.

- Информатика: оценка сложности алгоритмов (например, логарифмическая сложность $O(\log n)$).

- Сейсмология: шкала Рихтера для измерения магнитуды землетрясений является логарифмической.

Таким образом, понятия, рожденные из необходимости упростить расчеты движения планет, превратились в универсальный язык для описания широчайшего круга явлений в окружающем нас мире.

22.22. Упростите выражение:

1) $ ((b^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.8})^3 \cdot b^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.4})^{-1} $;

2) $ ((a^{-\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{3}{14}})^3 \cdot y^{1.5} \cdot a^{-\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} $.

1) Упростим выражение $ ((b^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.8})^3 \cdot b^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.4})^{-1} $.

Сначала раскроем внутренние скобки, возведя каждый множитель в степень 3, используя свойство $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:

$ (b^{-\frac{3}{7} \cdot 3} \cdot y^{-0.8 \cdot 3} \cdot b^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.4})^{-1} = (b^{-\frac{9}{7}} \cdot y^{-2.4} \cdot b^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.4})^{-1} $

Теперь сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели, используя свойство $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:

$ ( (b^{-\frac{9}{7}} \cdot b^{\frac{3}{7}}) \cdot (y^{-2.4} \cdot y^{0.4}) )^{-1} = (b^{-\frac{9}{7} + \frac{3}{7}} \cdot y^{-2.4 + 0.4})^{-1} = (b^{-\frac{6}{7}} \cdot y^{-2})^{-1} $

Наконец, возведем полученное выражение в степень -1, умножив каждый показатель на -1:

$ (b^{-\frac{6}{7}})^{-1} \cdot (y^{-2})^{-1} = b^{-\frac{6}{7} \cdot (-1)} \cdot y^{-2 \cdot (-1)} = b^{\frac{6}{7}} \cdot y^2 $

Ответ: $b^{\frac{6}{7}}y^2$

2) Упростим выражение $ ((a^{-\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{3}{14}})^{3.5} \cdot y^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} $.

Сначала представим десятичную степень в виде обыкновенной дроби: $ 3.5 = \frac{7}{2} $.

$ ((a^{-\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{3}{14}})^{\frac{7}{2}} \cdot y^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} $

Раскроем внутренние скобки, возведя каждый множитель в степень $ \frac{7}{2} $:

$ (a^{-\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2}} \cdot y^{\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{2}} \cdot y^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} = (a^{-1} \cdot y^{\frac{21}{28}} \cdot y^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} $

Упростим показатель степени у $ y $: $ \frac{21}{28} = \frac{3}{4} $.

$ (a^{-1} \cdot y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-3})^{-1} $

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели:

$ ( (a^{-1} \cdot a^{-3}) \cdot (y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{7}{4}}) )^{-1} = (a^{-1-3} \cdot y^{\frac{3}{4}+\frac{7}{4}})^{-1} = (a^{-4} \cdot y^{\frac{10}{4}})^{-1} $

Упростим показатель степени у $ y $: $ \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $.

$ (a^{-4} \cdot y^{\frac{5}{2}})^{-1} $

Возведем полученное выражение в степень -1:

$ (a^{-4})^{-1} \cdot (y^{\frac{5}{2}})^{-1} = a^{-4 \cdot (-1)} \cdot y^{\frac{5}{2} \cdot (-1)} = a^4 \cdot y^{-\frac{5}{2}} $

Ответ: $a^4y^{-\frac{5}{2}}$