Номер 22.20, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.20. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции $y = e^{2x}$, касательной к ней в точке (0; 1) и прямой $x=1$.

Для того чтобы вычислить площадь плоской фигуры, необходимо сначала найти уравнение касательной к графику функции $y = e^{2x}$ в точке $(0, 1)$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае, функция $f(x) = e^{2x}$ и точка касания имеет координаты $x_0 = 0$ и $y_0 = f(0) = e^{2 \cdot 0} = 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 0$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(0) = 2e^{2 \cdot 0} = 2e^0 = 2$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 2(x - 0)$

$y = 2x + 1$.

Таким образом, искомая фигура ограничена сверху графиком функции $y_1 = e^{2x}$, снизу — касательной $y_2 = 2x + 1$, слева — осью ординат (поскольку точка касания имеет абсциссу $x=0$), и справа — прямой $x = 1$.

Для того чтобы убедиться, что $e^{2x} \ge 2x + 1$ на отрезке $[0, 1]$, рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = e^{2x} - (2x + 1)$. Её производная $h'(x) = 2e^{2x} - 2 = 2(e^{2x} - 1)$. Для всех $x > 0$ значение $e^{2x} > 1$, следовательно, $h'(x) > 0$. Это означает, что функция $h(x)$ возрастает на интервале $(0, \infty)$. Так как $h(0) = e^0 - (0+1) = 0$, то при $x>0$ будет выполняться $h(x)>0$, а значит $e^{2x} > 2x + 1$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x=0$ до $x=1$:

$S = \int_{0}^{1} (e^{2x} - (2x + 1)) dx = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2x - 1) dx$.

Вычислим этот интеграл, применив формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} - x^2 - x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - 1^2 - 1 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} - 0^2 - 0 \right)$.

$S = \left( \frac{e^2}{2} - 1 - 1 \right) - \left( \frac{1}{2}e^0 \right) = \left( \frac{e^2}{2} - 2 \right) - \frac{1}{2}$.

$S = \frac{e^2}{2} - \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^2 - 5}{2}$.

Ответ: $\frac{e^2 - 5}{2}$.