Номер 22.13, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = x + \ln(-x)$ — на отрезке $[-4; 0,5];$

2) $y = x + e^{-x}$ — на отрезке $[-\ln4; \ln2].$

Можно считать, что $\ln2 \approx 0,7.$

1) Дана функция $y = x + \ln(-x)$ на отрезке $[-4; -0,5]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке воспользуемся стандартным алгоритмом.

1. Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $-x > 0$, что означает $x < 0$. Заданный отрезок $[-4; -0,5]$ полностью входит в область определения функции.

2. Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (x + \ln(-x))' = (x)' + (\ln(-x))' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-1) = 1 + \frac{1}{x}$.

3. Найдем критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

$y' = 0 \implies 1 + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{x+1}{x} = 0$.

Отсюда $x+1 = 0$, то есть $x = -1$.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

Критическая точка $x=-1$ принадлежит заданному отрезку $[-4; -0,5]$.

4. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:

$y(-4) = -4 + \ln(-(-4)) = -4 + \ln(4)$.

$y(-1) = -1 + \ln(-(-1)) = -1 + \ln(1) = -1 + 0 = -1$.

$y(-0,5) = -0,5 + \ln(-(-0,5)) = -0,5 + \ln(0,5) = -0,5 + \ln(2^{-1}) = -0,5 - \ln(2)$.

5. Сравним полученные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее.

Для определения, какое из значений $y(-4)$ или $y(-0,5)$ меньше, сравним их.

$y(-4) = -4 + \ln(4) = -4 + 2\ln(2)$.

$y(-0,5) = -0,5 - \ln(2)$.

Используя приближение $\ln(2) \approx 0,7$:

$y(-4) \approx -4 + 2 \cdot 0,7 = -4 + 1,4 = -2,6$.

$y(-0,5) \approx -0,5 - 0,7 = -1,2$.

Сравнивая значения $-2,6$, $-1,2$ и $-1$, видим, что наименьшее значение это $-2,6$, а наибольшее $-1$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке — это $y(-4)$, а наибольшее — $y(-1)$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -4 + \ln(4)$, наибольшее значение $y_{наиб} = -1$.

2) Дана функция $y = x + e^{-x}$ на отрезке $[-\ln4; \ln2]$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, так как показательная функция определена для любого показателя.

2. Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (x + e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-1) = 1 - e^{-x}$.

3. Найдем критические точки.

$y' = 0 \implies 1 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 1$.

Прологарифмировав обе части, получим: $-x = \ln(1)$, откуда $-x = 0$, то есть $x = 0$.

Проверим, принадлежит ли точка $x=0$ отрезку $[-\ln4; \ln2]$.

Так как $\ln4 > 0$ и $\ln2 > 0$, то $-\ln4 < 0$. Следовательно, $0 \in [-\ln4; \ln2]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x = -\ln4$ и $x = \ln2$.

При $x = -\ln4$:

$y(-\ln4) = -\ln4 + e^{-(-\ln4)} = -\ln4 + e^{\ln4} = 4 - \ln4$.

При $x = 0$:

$y(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1$.

При $x = \ln2$:

$y(\ln2) = \ln2 + e^{-\ln2} = \ln2 + e^{\ln(1/2)} = \ln2 + \frac{1}{2}$.

5. Сравним полученные значения: $4 - \ln4$, $1$ и $\ln2 + \frac{1}{2}$.

Воспользуемся приближением $\ln2 \approx 0,7$ и свойством $\ln4 = 2\ln2$:

$y(-\ln4) = 4 - 2\ln2 \approx 4 - 2 \cdot 0,7 = 4 - 1,4 = 2,6$.

$y(0) = 1$.

$y(\ln2) = \ln2 + 0,5 \approx 0,7 + 0,5 = 1,2$.

Сравнивая полученные приближенные значения $2,6$, $1$ и $1,2$, видим, что наименьшее из них — $1$, а наибольшее — $2,6$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 1$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4 - \ln4$.