Номер 22.12, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.12. Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \ln(2x) + x^{-1}, x_0 = 0,5;$

2) $f(x) = e^{1+2x} - 4x^3, x_0 = -0,5;$

3) $f(x) = \ln(-0,5x) - x^2, x_0 = -2;$

4) $f(x) = e^{1-2x} - x^2, x_0 = 0,5.$

1) Дана функция $f(x) = \ln(2x) + x^{-1}$ и точка с абсциссой $x_0 = 0,5$.

Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(0,5) = \ln(2 \cdot 0,5) + (0,5)^{-1} = \ln(1) + \frac{1}{0,5} = 0 + 2 = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\ln(2x) + x^{-1})' = (\ln(2x))' + (x^{-1})' = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' + (-1)x^{-2} = \frac{2}{2x} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(0,5) = \frac{1}{0,5} - \frac{1}{(0,5)^2} = 2 - \frac{1}{0,25} = 2 - 4 = -2$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 2$, $f'(x_0) = -2$ и $x_0 = 0,5$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-2)(x - 0,5)$

$y = 2 - 2x + 1$

$y = -2x + 3$.

Ответ: $y = -2x + 3$.

2) Дана функция $f(x) = e^{1+2x} - 4x^3$ и точка с абсциссой $x_0 = -0,5$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-0,5) = e^{1+2(-0,5)} - 4(-0,5)^3 = e^{1-1} - 4(-0,125) = e^0 + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{1+2x} - 4x^3)' = (e^{1+2x})' - (4x^3)' = e^{1+2x} \cdot (1+2x)' - 12x^2 = 2e^{1+2x} - 12x^2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = 2e^{1+2(-0,5)} - 12(-0,5)^2 = 2e^0 - 12(0,25) = 2 \cdot 1 - 3 = -1$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1,5 + (-1)(x - (-0,5))$

$y = 1,5 - (x + 0,5)$

$y = 1,5 - x - 0,5$

$y = -x + 1$.

Ответ: $y = -x + 1$.

3) Дана функция $f(x) = \ln(-0,5x) - x^2$ и точка с абсциссой $x_0 = -2$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-2) = \ln(-0,5 \cdot (-2)) - (-2)^2 = \ln(1) - 4 = 0 - 4 = -4$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\ln(-0,5x) - x^2)' = \frac{1}{-0,5x} \cdot (-0,5) - 2x = \frac{1}{x} - 2x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-2) = \frac{1}{-2} - 2(-2) = -0,5 + 4 = 3,5$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -4 + 3,5(x - (-2))$

$y = -4 + 3,5(x + 2)$

$y = -4 + 3,5x + 7$

$y = 3,5x + 3$.

Ответ: $y = 3,5x + 3$.

4) Дана функция $f(x) = e^{1-2x} - x^2$ и точка с абсциссой $x_0 = 0,5$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(0,5) = e^{1-2(0,5)} - (0,5)^2 = e^{1-1} - 0,25 = e^0 - 0,25 = 1 - 0,25 = 0,75$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{1-2x} - x^2)' = e^{1-2x} \cdot (1-2x)' - 2x = -2e^{1-2x} - 2x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(0,5) = -2e^{1-2(0,5)} - 2(0,5) = -2e^0 - 1 = -2 \cdot 1 - 1 = -3$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 0,75 + (-3)(x - 0,5)$

$y = 0,75 - 3x + 1,5$

$y = -3x + 2,25$.

Ответ: $y = -3x + 2,25$.