gdz.top
Номер 22.19, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский
Авторы: Абылкасымова А. Е., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава VI. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 22. Производная и первообразная показательной функции. Производная логарифмической функции - номер 22.19, страница 176.
№22.18
№22.19 (с. 176)
Условие. №22.19 (с. 176)
22.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 - 2\ln x$ на промежутке $[2; e^2]$.
Решение 2 (rus). №22.19 (с. 176)
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2 - 2\ln x$ на промежутке $[2; e^2]$, необходимо исследовать функцию на этом отрезке.
1. Найдём производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 2\ln x)' = 2x - 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - 2}{x}$.
2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю. Область определения функции $x > 0$.
$f'(x) = 0 \implies \frac{2x^2 - 2}{x} = 0 \implies 2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1$.
Поскольку $x > 0$, получаем одну критическую точку $x = 1$.
3. Проанализируем поведение функции на отрезке $[2; e^2]$.
Критическая точка $x = 1$ не принадлежит данному отрезку.
Проверим знак производной $f'(x)$ на отрезке $[2; e^2]$. Для любого $x \in [2; e^2]$, выполняется неравенство $x \ge 2$, следовательно $x^2 \ge 4$, и $x^2 - 1 > 0$. Знаменатель $x$ также положителен на этом отрезке.
Таким образом, $f'(x) = \frac{2(x^2 - 1)}{x} > 0$ на всём отрезке $[2; e^2]$.
Это означает, что функция $f(x)$ является монотонно возрастающей на данном отрезке. Следовательно, своё наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Наименьшее значение функции
Наименьшее значение функция достигает в точке $x = 2$.
$f_{min} = f(2) = 2^2 - 2\ln 2 = 4 - 2\ln 2$.
Ответ: $4 - 2\ln 2$.
Наибольшее значение функции
Наибольшее значение функция достигает в точке $x = e^2$.
$f_{max} = f(e^2) = (e^2)^2 - 2\ln(e^2) = e^4 - 2 \cdot (2\ln e) = e^4 - 4 \cdot 1 = e^4 - 4$.
Ответ: $e^4 - 4$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 22.19 расположенного на странице 176 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №22.19 (с. 176), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Корчевский (Владимир Евгеньевич), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.