Номер 22.24, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

22.24. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.

1) $f(x) = (3x - 1)^2 - 2\sqrt{x^5}, x_0 = 1;$

2) $f(x) = 6x^{\frac{7}{3}} - 5\sqrt[5]{x^2} - 3x + 1, x_0 = 1.$

1) Дана функция $f(x) = (3x - 1)² - 2\sqrt{x^5}$ и точка $x_0 = 1$.

Для того чтобы найти значение производной в точке, сначала необходимо найти саму производную функции $f'(x)$.

Перепишем функцию, используя степенные показатели: $f(x) = (3x - 1)^2 - 2x^{5/2}$.

Найдем производную первого слагаемого, используя правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$:

$((3x - 1)^2)' = 2 \cdot (3x - 1)^{2-1} \cdot (3x - 1)' = 2(3x - 1) \cdot 3 = 18x - 6$.

Найдем производную второго слагаемого, используя правило дифференцирования степенной функции $(ax^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1}$:

$(-2x^{5/2})' = -2 \cdot \frac{5}{2} \cdot x^{\frac{5}{2}-1} = -5x^{3/2}$.

Таким образом, производная всей функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 18x - 6 - 5x^{3/2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 18 \cdot 1 - 6 - 5 \cdot (1)^{3/2} = 18 - 6 - 5 \cdot 1 = 12 - 5 = 7$.

Ответ: 7.

2) Дана функция $f(x) = 6x^{\frac{7}{3}} - 5\sqrt[5]{x^2} - 3x + 1$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для этого представим все слагаемые в виде степеней:

$f(x) = 6x^{7/3} - 5x^{2/5} - 3x^1 + 1$.

Найдем производную, дифференцируя каждый член функции по отдельности, используя правило $(ax^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1}$:

$f'(x) = (6x^{7/3})' - (5x^{2/5})' - (3x)' + (1)'$

$f'(x) = 6 \cdot \frac{7}{3} \cdot x^{\frac{7}{3}-1} - 5 \cdot \frac{2}{5} \cdot x^{\frac{2}{5}-1} - 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} + 0$

$f'(x) = 14x^{\frac{4}{3}} - 2x^{-\frac{3}{5}} - 3$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 14 \cdot (1)^{4/3} - 2 \cdot (1)^{-3/5} - 3$.

Поскольку любое число 1 в любой степени равно 1, получаем:

$f'(1) = 14 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 3 = 14 - 2 - 3 = 9$.

Ответ: 9.