Номер 5, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5. Расположите числа $ (\frac{1}{2})^{-4} $; $1$; $ 4^{-\sqrt{3}} $; $8$ в порядке возрастания:

A) $ 4^{-\sqrt{3}} $; $8$; $1$; $ (\frac{1}{2})^{-4} $;

B) $ (\frac{1}{2})^{-4} $; $ 4^{-\sqrt{3}} $; $1$; $8$;

C) $8$; $1$; $ 4^{-\sqrt{3}} $; $ (\frac{1}{2})^{-4} $;

D) $ 4^{-\sqrt{3}} $; $1$; $8$; $ (\frac{1}{2})^{-4} $.

Для того чтобы расположить заданные числа в порядке возрастания, мы преобразуем их таким образом, чтобы их можно было легко сравнить. Удобнее всего привести все числа, которые являются степенями, к одному основанию. В данном случае подходящим основанием является число 2.

1. Рассмотрим число $(\frac{1}{2})^{-4}$.

Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получим:$(\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4 = 2^4 = 16$.

Также можно использовать свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a=2^{-1}$:$(\frac{1}{2})^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^{(-1) \cdot (-4)} = 2^4 = 16$.

2. Рассмотрим число $1$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Представим 1 в виде степени с основанием 2:$1 = 2^0$.

3. Рассмотрим число $4^{-\sqrt{3}}$.

Представим основание 4 как степень числа 2: $4 = 2^2$. Затем воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:$4^{-\sqrt{3}} = (2^2)^{-\sqrt{3}} = 2^{-2\sqrt{3}}$.

4. Рассмотрим число $8$.

Представим 8 как степень числа 2:$8 = 2^3$.

Теперь мы имеем следующий набор чисел, представленных в виде степеней с одинаковым основанием 2:

• $(\frac{1}{2})^{-4} = 2^4$
• $1 = 2^0$
• $4^{-\sqrt{3}} = 2^{-2\sqrt{3}}$
• $8 = 2^3$

Для сравнения этих чисел достаточно сравнить их показатели степени, так как основание $2 > 1$, и показательная функция $y = 2^x$ является возрастающей (т.е. большему значению показателя соответствует большее значение степени).

Сравним показатели: $4$, $0$, $-2\sqrt{3}$ и $3$.

• Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $-2\sqrt{3} \approx -2 \cdot 1.732 = -3.464$. Это единственное отрицательное значение, следовательно, оно наименьшее.
• Далее идет $0$.
• Затем $3$.
• И самое большое значение — $4$.

Это означает, что и сами числа, соответствующие этим показателям, располагаются в том же порядке:$2^{-2\sqrt{3}} < 2^0 < 2^3 < 2^4$.

Теперь вернемся к исходным выражениям:$4^{-\sqrt{3}} < 1 < 8 < (\frac{1}{2})^{-4}$.

Среди предложенных вариантов ответов этот порядок соответствует варианту D.

Ответ: D) $4^{-\sqrt{3}}; 1; 8; (\frac{1}{2})^{-4}$.