Номер 9, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = x^3 - 3\ln x:$

A) $R$ — возрастает;

B) $[1; +\infty)$ — возрастает, $(0; 1]$ — убывает;

C) $(0; 1]$ — возрастает, $[1; +\infty)$ — убывает;

D) $(0; +\infty)$ — возрастает.

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо найти её производную и определить интервалы, на которых производная положительна (возрастание) или отрицательна (убывание).

1. Нахождение области определения функции

Дана функция $y = x^3 - 3\ln(x)$.

Выражение $x^3$ определено для всех действительных чисел $x$.

Натуральный логарифм $\ln(x)$ определен только для положительных значений аргумента, то есть при $x > 0$.

Следовательно, область определения данной функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Нахождение производной функции

Найдём производную функции $y$ по переменной $x$, используя правила дифференцирования:

$y' = (x^3 - 3\ln x)' = (x^3)' - (3\ln x)' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 - \frac{3}{x}$.

3. Нахождение критических точек

Критические точки – это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Наша производная $y' = 3x^2 - \frac{3}{x}$ существует на всей области определения $(0; +\infty)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0$

$3x^2 - \frac{3}{x} = 0$

Приведём выражение к общему знаменателю:

$\frac{3x^3 - 3}{x} = 0$

Поскольку $x \in (0; +\infty)$, то $x \neq 0$. Следовательно, равенство выполняется, когда числитель равен нулю:

$3x^3 - 3 = 0$

$3x^3 = 3$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Таким образом, $x=1$ является единственной критической точкой.

4. Определение знаков производной на интервалах

Критическая точка $x=1$ разбивает область определения $(0; +\infty)$ на два интервала: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $y'$ на каждом из этих интервалов.

• Для интервала $(0; 1)$ выберем пробную точку, например $x=0.5$.

  $y'(0.5) = 3(0.5)^2 - \frac{3}{0.5} = 3 \cdot 0.25 - 6 = 0.75 - 6 = -5.25$.

  Поскольку $y' < 0$, функция на этом интервале убывает.

• Для интервала $(1; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x=2$.

  $y'(2) = 3(2)^2 - \frac{3}{2} = 3 \cdot 4 - 1.5 = 12 - 1.5 = 10.5$.

  Поскольку $y' > 0$, функция на этом интервале возрастает.

5. Вывод

На основе анализа знака производной делаем вывод о промежутках монотонности функции:

- Функция убывает при $y' < 0$, то есть на промежутке $(0; 1]$.

- Функция возрастает при $y' > 0$, то есть на промежутке $[1; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом B.

Ответ: B) $[1; +\infty)$ — возрастает, $(0; 1]$ — убывает;