Страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = xe^{-3x} + 4$ в точке с абсциссой $x = -1$:

A) $y = 4e^3x + 3e^3 + 4$;

B) $y = 2e^3x + 3e^3$;

C) $y = 4e^3x - 5e^3 + 4$;

D) $y = e^3x + 3e^3 - 4$.

Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, необходимо использовать следующую формулу:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашем случае дана функция $f(x) = xe^{-3x} + 4$ и абсцисса точки касания $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$. Это будет ордината точки касания.

$f(-1) = (-1) \cdot e^{-3(-1)} + 4 = -1 \cdot e^3 + 4 = 4 - e^3$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правилом дифференцирования сложной функции.

$f'(x) = (xe^{-3x} + 4)' = (xe^{-3x})' + (4)'$.

Производная первого слагаемого: $(xe^{-3x})' = (x)' \cdot e^{-3x} + x \cdot (e^{-3x})' = 1 \cdot e^{-3x} + x \cdot (e^{-3x} \cdot (-3)) = e^{-3x} - 3xe^{-3x}$.

Производная второго слагаемого (константы): $(4)' = 0$.

Таким образом, производная всей функции равна:

$f'(x) = e^{-3x} - 3xe^{-3x} = e^{-3x}(1 - 3x)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.

$f'(-1) = e^{-3(-1)}(1 - 3(-1)) = e^3(1 + 3) = 4e^3$.

4. Теперь у нас есть все необходимые компоненты: $x_0 = -1$, $f(x_0) = 4 - e^3$ и $f'(x_0) = 4e^3$. Подставим их в формулу уравнения касательной:

$y = (4 - e^3) + 4e^3(x - (-1))$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 4 - e^3 + 4e^3(x + 1)$

$y = 4 - e^3 + 4e^3x + 4e^3$

Приведем подобные члены:

$y = 4e^3x + (4e^3 - e^3) + 4$

$y = 4e^3x + 3e^3 + 4$

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту A.

Ответ: A) $y = 4e^3x + 3e^3 + 4$

9. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = x^3 - 3\ln x:$

A) $R$ — возрастает;

B) $[1; +\infty)$ — возрастает, $(0; 1]$ — убывает;

C) $(0; 1]$ — возрастает, $[1; +\infty)$ — убывает;

D) $(0; +\infty)$ — возрастает.

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо найти её производную и определить интервалы, на которых производная положительна (возрастание) или отрицательна (убывание).

1. Нахождение области определения функции

Дана функция $y = x^3 - 3\ln(x)$.

Выражение $x^3$ определено для всех действительных чисел $x$.

Натуральный логарифм $\ln(x)$ определен только для положительных значений аргумента, то есть при $x > 0$.

Следовательно, область определения данной функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Нахождение производной функции

Найдём производную функции $y$ по переменной $x$, используя правила дифференцирования:

$y' = (x^3 - 3\ln x)' = (x^3)' - (3\ln x)' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 - \frac{3}{x}$.

3. Нахождение критических точек

Критические точки – это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Наша производная $y' = 3x^2 - \frac{3}{x}$ существует на всей области определения $(0; +\infty)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0$

$3x^2 - \frac{3}{x} = 0$

Приведём выражение к общему знаменателю:

$\frac{3x^3 - 3}{x} = 0$

Поскольку $x \in (0; +\infty)$, то $x \neq 0$. Следовательно, равенство выполняется, когда числитель равен нулю:

$3x^3 - 3 = 0$

$3x^3 = 3$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Таким образом, $x=1$ является единственной критической точкой.

4. Определение знаков производной на интервалах

Критическая точка $x=1$ разбивает область определения $(0; +\infty)$ на два интервала: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $y'$ на каждом из этих интервалов.

• Для интервала $(0; 1)$ выберем пробную точку, например $x=0.5$.

  $y'(0.5) = 3(0.5)^2 - \frac{3}{0.5} = 3 \cdot 0.25 - 6 = 0.75 - 6 = -5.25$.

  Поскольку $y' < 0$, функция на этом интервале убывает.

• Для интервала $(1; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x=2$.

  $y'(2) = 3(2)^2 - \frac{3}{2} = 3 \cdot 4 - 1.5 = 12 - 1.5 = 10.5$.

  Поскольку $y' > 0$, функция на этом интервале возрастает.

5. Вывод

На основе анализа знака производной делаем вывод о промежутках монотонности функции:

- Функция убывает при $y' < 0$, то есть на промежутке $(0; 1]$.

- Функция возрастает при $y' > 0$, то есть на промежутке $[1; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом B.

Ответ: B) $[1; +\infty)$ — возрастает, $(0; 1]$ — убывает;

10. Найдите точки экстремума функции $y = 0,5x^2 - 6x + 2\ln x^4$:

A) $x_{\max} = 4, x_{\min} = 2;$

B) не имеет точек экстремума;

C) $x_{\max} = 2, x_{\min} = 4;$

D) $x_{\max} = 1, x_{\min} = 8.$

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю и найти корни получившегося уравнения. Это будут стационарные точки. Затем нужно исследовать знак производной в окрестности этих точек, чтобы определить, являются ли они точками максимума или минимума.

1. Найдем область определения функции.

Исходная функция: $y = 0,5x^2 - 6x + 2\ln{x^4}$.

Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x^4 > 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.

Таким образом, область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию и найдем ее производную.

Используем свойство логарифма $\ln{a^b} = b\ln{a}$. Поскольку $x^4 = (|x|)^4$, мы можем записать $2\ln{x^4} = 2 \cdot 4\ln|x| = 8\ln|x|$.

Функция принимает вид: $y = 0,5x^2 - 6x + 8\ln|x|$.

Теперь найдем производную функции $y'$:

$y' = (0,5x^2 - 6x + 8\ln|x|)' = (0,5x^2)' - (6x)' + (8\ln|x|)'$.

Производная от $\ln|x|$ равна $\frac{1}{x}$.

$y' = 0,5 \cdot 2x - 6 + 8 \cdot \frac{1}{x} = x - 6 + \frac{8}{x}$.

3. Найдем стационарные (критические) точки.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$x - 6 + \frac{8}{x} = 0$.

Так как $x \ne 0$, умножим обе части уравнения на $x$:

$x^2 - 6x + 8 = 0$.

Это квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 8. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Оба корня принадлежат области определения функции.

4. Определим характер точек экстремума.

Исследуем знак производной $y' = \frac{x^2 - 6x + 8}{x}$ на интервалах, на которые область определения разбивается стационарными точками.

Интервалы: $(0; 2)$, $(2; 4)$, $(4; +\infty)$. (Интервал $(-\infty; 0)$ также существует, но предложенные ответы содержат только положительные значения $x$).

• Возьмем точку из интервала $(0; 2)$, например, $x=1$.

  $y'(1) = 1 - 6 + \frac{8}{1} = 3 > 0$. Функция возрастает на этом интервале.

• Возьмем точку из интервала $(2; 4)$, например, $x=3$.

  $y'(3) = 3 - 6 + \frac{8}{3} = -3 + \frac{8}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{1}{3} < 0$. Функция убывает на этом интервале.

• Возьмем точку из интервала $(4; +\infty)$, например, $x=5$.

  $y'(5) = 5 - 6 + \frac{8}{5} = -1 + \frac{8}{5} = \frac{3}{5} > 0$. Функция возрастает на этом интервале.

В точке $x=4$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума: $x_{min} = 4$.

Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: C) $x_{max} = 2, x_{min} = 4$.

11. Вычислите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 e^x$ на отрезке $[-1; 2]$:

A) $4e^2; \frac{1}{e};$

B) $\frac{1}{e}; 0;$

C) $e; 0;$

D) $4e^2; 0.$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^2e^x$ на отрезке $[-1; 2]$, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Сначала найдем производную функции. Используя правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u=x^2$ и $v=e^x$, получаем:

$y' = (x^2e^x)' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$2xe^x + x^2e^x = 0$

Вынесем общий множитель $xe^x$ за скобки:

$xe^x(2 + x) = 0$.

Поскольку $e^x$ всегда больше нуля, то равенство выполняется, если $x=0$ или $2+x=0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Теперь нужно проверить, какие из этих точек принадлежат заданному отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x_2 = -2$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

Таким образом, нам нужно сравнить значения функции в критической точке $x = 0$ и на концах отрезка: $x = -1$ и $x = 2$.

Вычислим эти значения:

При $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-1} = 1 \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$.

При $x = 0$: $y(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.

При $x = 2$: $y(2) = 2^2 \cdot e^2 = 4e^2$.

Теперь сравним полученные значения: $\frac{1}{e}$, $0$ и $4e^2$.

Наибольшее из этих значений — $4e^2$.

Наименьшее из этих значений — $0$.

Итак, наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ равно $4e^2$, а наименьшее — $0$. В вариантах ответа это соответствует паре $4e^2; 0$.

Ответ: $4e^2; 0$.

12. Вычислите интеграл $ \int_{1}^{2}\left(3^{x}-\frac{3}{x}\right)dx: $
A) $ \frac{6}{\ln 3}+3 \ln 2; $
B) $ \frac{3}{\ln 3}-\ln 8; $
C) $ \frac{6}{\ln 3}-3 \ln 2; $
D) $ \frac{9}{\ln 3}-3 \ln 2. $

Для вычисления данного определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции и затем применить формулу Ньютона-Лейбница.

1. Нахождение первообразной

Подынтегральная функция представляет собой разность двух функций: $ f(x) = 3^x $ и $ g(x) = \frac{3}{x} $. Интеграл от разности равен разности интегралов:

$ \int (3^x - \frac{3}{x})dx = \int 3^x dx - \int \frac{3}{x} dx $

Найдём первообразную для каждой части по отдельности, используя табличные интегралы:

Первообразная для показательной функции $ a^x $ находится по формуле $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} $. В нашем случае $ a=3 $, поэтому:

$ \int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} $

Первообразная для функции $ \frac{k}{x} $ находится по формуле $ \int \frac{k}{x} dx = k \ln|x| $. В нашем случае $ k=3 $, поэтому:

$ \int \frac{3}{x} dx = 3 \ln|x| $

Таким образом, общая первообразная для функции $ 3^x - \frac{3}{x} $ равна:

$ F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} - 3 \ln|x| $

2. Вычисление по формуле Ньютона-Лейбница

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $ для пределов интегрирования от 1 до 2:

$ \int_{1}^{2} (3^x - \frac{3}{x})dx = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} - 3 \ln|x| \right]_{1}^{2} $

Подставим сначала верхний предел $ x=2 $:

$ F(2) = \frac{3^2}{\ln 3} - 3 \ln|2| = \frac{9}{\ln 3} - 3 \ln 2 $

Затем подставим нижний предел $ x=1 $:

$ F(1) = \frac{3^1}{\ln 3} - 3 \ln|1| = \frac{3}{\ln 3} - 3 \cdot 0 = \frac{3}{\ln 3} $

Вычтем из значения в верхней точке значение в нижней точке:

$ F(2) - F(1) = \left( \frac{9}{\ln 3} - 3 \ln 2 \right) - \left( \frac{3}{\ln 3} \right) = \frac{9}{\ln 3} - \frac{3}{\ln 3} - 3 \ln 2 = \frac{9 - 3}{\ln 3} - 3 \ln 2 = \frac{6}{\ln 3} - 3 \ln 2 $

Полученный результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $ \frac{6}{\ln 3} - 3\ln 2 $

13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

$y = 0,5^x$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$:

A) $2\ln2 + 0,75$;

B) $\frac{2 \ln 2 + 1}{4 \ln 2}$;

C) $\frac{1}{4 \ln 2}$;

D) $\frac{\ln 4 - 1}{4 \ln 2}$.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, используется определенный интеграл. Формула для вычисления площади криволинейной трапеции имеет вид:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае заданы следующие линии:

• $y = 0,5^x$ (это наша функция $f(x)$)
• $y = 0$ (ось Ox)
• $x = 1$ (нижний предел интегрирования $a$)
• $x = 2$ (верхний предел интегрирования $b$)

Таким образом, нам необходимо вычислить следующий определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{2} 0,5^x \,dx$

Для нахождения этого интеграла воспользуемся табличной формулой для первообразной показательной функции $\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a}$. В нашем случае $a = 0,5$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$:

$S = \left. \frac{0,5^x}{\ln 0,5} \right|_{1}^{2} = \frac{0,5^2}{\ln 0,5} - \frac{0,5^1}{\ln 0,5}$

Выполним вычисления:

$S = \frac{0,25 - 0,5}{\ln 0,5} = \frac{-0,25}{\ln 0,5}$

Теперь упростим знаменатель. Используя свойство логарифма $\ln(\frac{1}{c}) = \ln(c^{-1}) = -\ln c$, получим:

$\ln 0,5 = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2$

Подставим это значение обратно в выражение для площади:

$S = \frac{-0,25}{-\ln 2} = \frac{0,25}{\ln 2}$

Осталось представить десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{1}{4}$.

$S = \frac{1/4}{\ln 2} = \frac{1}{4 \ln 2}$

Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $\frac{1}{4 \ln 2}$

14. В начале рабочего дня Шолпан, Айгуль и Раушан получили одинаковые заказы на изготовление салфеток. Айгуль может выполнить это задание за 8 ч, Шолпан за 9 ч, а Раушан за 12 часов. Мастер поручил объединить заказы и выполнить всю работу за 8 ч к концу рабочего дня. Найдите совместную производительность в час. Смогут ли они выполнить эту работу за 8 часов:

A) $\frac{25}{72}$, нет;

B) $\frac{23}{72}$, нет;

C) $\frac{23}{72}$, да;

D) $\frac{25}{72}$, да;

E) $\frac{7}{36}$, нет?

Для решения задачи сначала определим производительность каждой работницы, затем их совместную производительность, и, наконец, проверим, хватит ли им 8 часов на выполнение всей работы.

Найдите совместную производительность в час

Примем объем одного заказа за 1 единицу. Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени (1 час).

1. Производительность Айгуль, которая выполняет заказ за 8 часов, составляет $P_А = \frac{1}{8}$ заказа в час.

2. Производительность Шолпан, которая выполняет заказ за 9 часов, составляет $P_Ш = \frac{1}{9}$ заказа в час.

3. Производительность Раушан, которая выполняет заказ за 12 часов, составляет $P_Р = \frac{1}{12}$ заказа в час.

Совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:

$P_{совм} = P_А + P_Ш + P_Р = \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12}$

Чтобы сложить дроби, найдем наименьший общий знаменатель для 8, 9 и 12. Это число 72.

$P_{совм} = \frac{1 \cdot 9}{72} + \frac{1 \cdot 8}{72} + \frac{1 \cdot 6}{72} = \frac{9 + 8 + 6}{72} = \frac{23}{72}$

Таким образом, совместная производительность составляет $\frac{23}{72}$ заказа в час.

Ответ: $\frac{23}{72}$

Смогут ли они выполнить эту работу за 8 часов

По условию, заказы были объединены. Поскольку каждая из трех работниц получила по одному заказу, общий объем работы составляет $1 + 1 + 1 = 3$ заказа.

Чтобы узнать, смогут ли они выполнить 3 заказа за 8 часов, определим, какой объем работы они выполнят за это время при совместной производительности $\frac{23}{72}$ заказа в час.

Объем работы = Производительность $\times$ Время

Объем работы за 8 часов = $\frac{23}{72} \cdot 8 = \frac{23 \cdot 8}{72} = \frac{23}{9}$

Теперь нужно сравнить выполненный объем работы ($\frac{23}{9}$ заказа) с общим объемом работы (3 заказа).

$\frac{23}{9} = 2 \frac{5}{9}$

Поскольку $2 \frac{5}{9} < 3$, работницы не смогут выполнить всю работу за 8 часов. Им не хватит времени.

Альтернативный расчет: найдем время, необходимое для выполнения 3 заказов.

Время = Объем работы / Производительность

$T = \frac{3}{\frac{23}{72}} = 3 \cdot \frac{72}{23} = \frac{216}{23} \approx 9.39$ часов.

Так как $9.39$ ч $> 8$ ч, они не успеют.

Ответ: нет

Таким образом, совместная производительность равна $\frac{23}{72}$, и они не смогут выполнить работу за 8 часов. Это соответствует варианту B).