Страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23.8. 1) $(0,25)^{x^2 - 4} = 2^{x^2 - 1};$

2) $27^{-1} \cdot 9^{2x} = 243;$

3) $\sqrt[4]{5} \cdot 5^{3x} = 125;$

4) $6^{x+1} \cdot \sqrt[3]{6} = 216.$

1) $(0.25)^{x^2-4} = 2^{x^2-1}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к основанию 2.Заметим, что $0.25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(2^{-2})^{x^2-4} = 2^{x^2-1}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для левой части уравнения:

$2^{-2(x^2-4)} = 2^{x^2-1}$

$2^{-2x^2+8} = 2^{x^2-1}$

Теперь, когда основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-2x^2+8 = x^2-1$

Решим полученное квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2+2x^2 - 1 - 8 = 0$

$3x^2 - 9 = 0$

$3x^2 = 9$

$x^2 = 3$

Из этого следует, что уравнение имеет два корня:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$.

2) $27^{x-1} \cdot 9^{2x} = 243$

Для решения этого уравнения приведем все числа к основанию 3:

$27 = 3^3$

$9 = 3^2$

$243 = 3^5$

Подставим эти значения в уравнение:

$(3^3)^{x-1} \cdot (3^2)^{2x} = 3^5$

Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{3(x-1)} \cdot 3^{2(2x)} = 3^5$

$3^{3x-3} \cdot 3^{4x} = 3^5$

Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{(3x-3) + 4x} = 3^5$

$3^{7x-3} = 3^5$

Приравниваем показатели степеней:

$7x-3 = 5$

$7x = 8$

$x = \frac{8}{7}$

Ответ: $x = \frac{8}{7}$.

3) $\sqrt[4]{5} \cdot 5^{3x} = 125$

Приведем все члены уравнения к основанию 5.

Представим корень и число 125 в виде степени с основанием 5:

$\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}}$

$125 = 5^3$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{3x} = 5^3$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части:

$5^{\frac{1}{4} + 3x} = 5^3$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$\frac{1}{4} + 3x = 3$

Решим полученное уравнение:

$3x = 3 - \frac{1}{4}$

$3x = \frac{12}{4} - \frac{1}{4}$

$3x = \frac{11}{4}$

$x = \frac{11}{4 \cdot 3} = \frac{11}{12}$

Ответ: $x = \frac{11}{12}$.

4) $6^{x-1} \cdot \sqrt[3]{6} = 216$

Приведем все члены уравнения к основанию 6.

Представим корень и число 216 в виде степени с основанием 6:

$\sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}}$

$216 = 6^3$

Подставим эти значения в уравнение:

$6^{x-1} \cdot 6^{\frac{1}{3}} = 6^3$

По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ сложим показатели в левой части:

$6^{(x-1) + \frac{1}{3}} = 6^3$

$6^{x - \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 6^3$

$6^{x - \frac{2}{3}} = 6^3$

Теперь приравняем показатели степеней:

$x - \frac{2}{3} = 3$

$x = 3 + \frac{2}{3}$

$x = \frac{9}{3} + \frac{2}{3}$

$x = \frac{11}{3}$

Ответ: $x = \frac{11}{3}$.

23.9. 1) $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} = 0;$

2) $x^2 \cdot 5^x - 5^{x+2} + x = 0;$

3) $x^2 \cdot 3^x + 3^{x+3} = 0;$

4) $x^2 \cdot 8^x - 8^{x+1} = 0.$

1) $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^2 \cdot 3^x - 3^x \cdot 3^1 = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (x^2 - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как показательная функция $3^x > 0$ при любом значении $x$, то равенство возможно только если второй множитель равен нулю:

$x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$.

2) $x^2 \cdot 5^x - 5^{2+x} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^2 \cdot 5^x - 5^2 \cdot 5^x = 0$

$x^2 \cdot 5^x - 25 \cdot 5^x = 0$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x (x^2 - 25) = 0$

Так как $5^x > 0$ для всех $x$, приравниваем второй множитель к нулю:

$x^2 - 25 = 0$

$x^2 = 25$

$x = \pm 5$

Ответ: $x = \pm 5$.

3) $x^3 \cdot 3^x + 3^{x+3} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^3 \cdot 3^x + 3^x \cdot 3^3 = 0$

$x^3 \cdot 3^x + 27 \cdot 3^x = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (x^3 + 27) = 0$

Так как $3^x > 0$ для всех $x$, приравниваем второй множитель к нулю:

$x^3 + 27 = 0$

$x^3 = -27$

$x = \sqrt[3]{-27}$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$.

4) $x^3 \cdot 8^x - 8^{x+1} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^3 \cdot 8^x - 8^x \cdot 8^1 = 0$

Вынесем общий множитель $8^x$ за скобки:

$8^x (x^3 - 8) = 0$

Так как $8^x > 0$ для всех $x$, приравниваем второй множитель к нулю:

$x^3 - 8 = 0$

$x^3 = 8$

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

Решите системы уравнений (23.10–23.11):

23.10. 1)

$$\begin{cases} 2 \cdot 4^x + 3 \cdot 5^y = 11, \\ 5 \cdot 4^x + 4 \cdot 5^y = 24; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} 2^x - 2^y = 1, \\ 2^{3x} - 2^{3y} = 7. \end{cases}$$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2 \cdot 4^x + 3 \cdot 5^y = 11, \\ 5 \cdot 4^x + 4 \cdot 5^y = 24. \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = 4^x$ и $b = 5^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} 2a + 3b = 11, \\ 5a + 4b = 24. \end{cases} $

Это система линейных уравнений. Решим ее методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы избавиться от переменной $a$.

$ \begin{cases} 10a + 15b = 55, \\ -10a - 8b = -48. \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(10a - 10a) + (15b - 8b) = 55 - 48$

$7b = 7$

$b = 1$

Подставим значение $b = 1$ в первое уравнение системы для $a$ и $b$: $2a + 3 \cdot 1 = 11$.

$2a + 3 = 11$

$2a = 11 - 3$

$2a = 8$

$a = 4$

Мы получили $a = 4$ и $b = 1$. Оба значения положительны, что соответствует условиям $a > 0$ и $b > 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

$4^x = a \implies 4^x = 4 \implies 4^x = 4^1 \implies x = 1$.

$5^y = b \implies 5^y = 1 \implies 5^y = 5^0 \implies y = 0$.

Проверим решение $(1; 0)$:

$2 \cdot 4^1 + 3 \cdot 5^0 = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 8 + 3 = 11$.

$5 \cdot 4^1 + 4 \cdot 5^0 = 5 \cdot 4 + 4 \cdot 1 = 20 + 4 = 24$.

Оба равенства верны.

Ответ: $(1; 0)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^x - 2^y = 1, \\ 2^{3x} - 2^{3y} = 7. \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = 2^x$ и $b = 2^y$. Так как $a > 0$ и $b > 0$.

Заметим, что $2^{3x} = (2^x)^3 = a^3$ и $2^{3y} = (2^y)^3 = b^3$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} a - b = 1, \\ a^3 - b^3 = 7. \end{cases} $

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для второго уравнения.

Подставим значение $a - b = 1$ из первого уравнения во второе:

$1 \cdot (a^2 + ab + b^2) = 7$

$a^2 + ab + b^2 = 7$

Теперь у нас есть новая система:

$ \begin{cases} a = b + 1, \\ a^2 + ab + b^2 = 7. \end{cases} $

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(b + 1)^2 + (b + 1)b + b^2 = 7$

$(b^2 + 2b + 1) + (b^2 + b) + b^2 = 7$

$3b^2 + 3b + 1 = 7$

$3b^2 + 3b - 6 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$b^2 + b - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $b_1 = 1$ и $b_2 = -2$.

Так как $b = 2^y$, то $b$ должно быть положительным. Следовательно, корень $b = -2$ не подходит.

Остается единственное решение $b = 1$.

Найдем $a$ из уравнения $a = b + 1$: $a = 1 + 1 = 2$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$.

$2^x = a \implies 2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

$2^y = b \implies 2^y = 1 \implies 2^y = 2^0 \implies y = 0$.

Проверим решение $(1; 0)$:

$2^1 - 2^0 = 2 - 1 = 1$.

$2^{3 \cdot 1} - 2^{3 \cdot 0} = 2^3 - 2^0 = 8 - 1 = 7$.

Оба равенства верны.

Ответ: $(1; 0)$.

23.11. 1) $ \begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 648, \\ 3^x \cdot 2^y = 432; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ y - x = 4. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 648 \\ 3^x \cdot 2^y = 432 \end{cases}$

Для решения этой системы можно перемножить и разделить уравнения друг на друга.

Сначала перемножим левые и правые части уравнений:

$(2^x \cdot 3^y) \cdot (3^x \cdot 2^y) = 648 \cdot 432$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(2^x \cdot 2^y) \cdot (3^x \cdot 3^y) = 648 \cdot 432$

$2^{x+y} \cdot 3^{x+y} = 648 \cdot 432$

$(2 \cdot 3)^{x+y} = 648 \cdot 432$

$6^{x+y} = 648 \cdot 432$

Разложим числа в правой части на простые множители:

$648 = 2 \cdot 324 = 2 \cdot 18^2 = 2 \cdot (2 \cdot 3^2)^2 = 2 \cdot 2^2 \cdot 3^4 = 2^3 \cdot 3^4$

$432 = 2 \cdot 216 = 2 \cdot 6^3 = 2 \cdot (2 \cdot 3)^3 = 2 \cdot 2^3 \cdot 3^3 = 2^4 \cdot 3^3$

Тогда их произведение равно:

$648 \cdot 432 = (2^3 \cdot 3^4) \cdot (2^4 \cdot 3^3) = 2^{3+4} \cdot 3^{4+3} = 2^7 \cdot 3^7 = (2 \cdot 3)^7 = 6^7$

Подставим это значение обратно в уравнение:

$6^{x+y} = 6^7$

Отсюда следует, что $x+y = 7$.

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{2^x \cdot 3^y}{3^x \cdot 2^y} = \frac{648}{432}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^x}{2^y} \cdot \frac{3^y}{3^x} = \frac{2^3 \cdot 3^4}{2^4 \cdot 3^3}$

$2^{x-y} \cdot 3^{y-x} = 2^{3-4} \cdot 3^{4-3}$

$2^{x-y} \cdot 3^{-(x-y)} = 2^{-1} \cdot 3^1$

$(\frac{2}{3})^{x-y} = \frac{3}{2}$

Так как $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$, уравнение принимает вид:

$(\frac{2}{3})^{x-y} = (\frac{2}{3})^{-1}$

Отсюда следует, что $x-y = -1$.

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = 7 \\ x-y = -1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 7 + (-1)$

$2x = 6$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x$ в первое линейное уравнение:

$3+y=7$

$y=4$

Ответ: (3; 4).

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576 \\ y - x = 4 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x+4$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$3^x \cdot 2^{x+4} = 576$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать левую часть:

$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 576$

Теперь используем свойство $a^m \cdot b^m = (ab)^m$:

$(3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576$

$6^x \cdot 16 = 576$

Разделим обе части уравнения на 16:

$6^x = \frac{576}{16}$

$6^x = 36$

Так как $36 = 6^2$, получаем:

$6^x = 6^2$

Отсюда находим $x$:

$x=2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=2$ в выражение $y=x+4$:

$y = 2+4$

$y=6$

Ответ: (2; 6).

Решите уравнения (23.12—23.15):

23.12. 1) $(1/3)^{\sqrt{x}} (1/3)^x = 1;$

2) $\sqrt{6 - x} (5^{x^2 - 7.2x + 3.4} - 25) = 0;$

3) $4^{-x + 0.5} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0;$

4) $\sqrt{x + 3} (7^{x^2 - 6.5x + 5} - 49) = 0.$

1) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{x}} (\frac{1}{3})^x = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части уравнения:

$(\frac{1}{3})^{\sqrt{x}+x} = 1$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$, зная, что любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0 = 1$):

$(\frac{1}{3})^{\sqrt{x}+x} = (\frac{1}{3})^0$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\sqrt{x} + x = 0$

$\sqrt{x} = -x$

Левая часть уравнения, $\sqrt{x}$, по определению является неотрицательной. Следовательно, и правая часть, $-x$, должна быть неотрицательной: $-x \ge 0$, что означает $x \le 0$.

Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$) и полученное условие ($x \le 0$), единственным возможным решением является $x=0$.

Проверим это решение, подставив его в уравнение $\sqrt{x} = -x$:

$\sqrt{0} = -0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, $x=0$ является корнем уравнения.

Ответ: 0.

2) $\sqrt{6-x} (5^{x^2 - 7.2x + 3.4} - 25) = 0$

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $6 - x \ge 0$, откуда $x \le 6$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

Рассмотрим два случая:

I. $\sqrt{6-x} = 0$

$6 - x = 0$

$x = 6$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($6 \le 6$).

II. $5^{x^2 - 7.2x + 3.4} - 25 = 0$

$5^{x^2 - 7.2x + 3.4} = 25$

$5^{x^2 - 7.2x + 3.4} = 5^2$

Приравниваем показатели степеней:

$x^2 - 7.2x + 3.4 = 2$

$x^2 - 7.2x + 1.4 = 0$

Умножим уравнение на 5, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$5x^2 - 36x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 1296 - 140 = 1156 = 34^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 34}{2 \cdot 5} = \frac{70}{10} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 34}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0.2$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 6$).

$x_1 = 7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $7 > 6$.

$x_2 = 0.2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0.2 \le 6$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=6$ и $x=0.2$.

Ответ: 0,2; 6.

3) $4^{x+0.5} - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

Преобразуем уравнение, приведя степени к одному основанию 2:

$(2^2)^{x+0.5} - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

$2^{2(x+0.5)} - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

$2^{2x+1} - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

$2^{2x} \cdot 2^1 - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

$2 \cdot (2^x)^2 - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 7t - 4 = 0$

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$t_1 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

$t_2 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Корень $t_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной:

$2^x = t_1 = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Ответ: 2.

4) $\sqrt{x+3}(7^{x^2 - 6.5x + 5} - 49) = 0$

ОДЗ: $x+3 \ge 0$, откуда $x \ge -3$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

I. $\sqrt{x+3} = 0$

$x+3 = 0$

$x = -3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ -3 \ge -3$).

II. $7^{x^2 - 6.5x + 5} - 49 = 0$

$7^{x^2 - 6.5x + 5} = 49$

$7^{x^2 - 6.5x + 5} = 7^2$

Приравниваем показатели:

$x^2 - 6.5x + 5 = 2$

$x^2 - 6.5x + 3 = 0$

Умножим уравнение на 2:

$2x^2 - 13x + 6 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$

$x_1 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

$x_2 = \frac{13 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -3$), так как $6 \ge -3$ и $0.5 \ge -3$.

Объединяем все найденные корни.

Ответ: -3; 0,5; 6.

23.13. 1) $8^x + 3 \cdot 4^x = 12 + 2^{2x+2}$;

2) $3^{1+3x} - 9^x = 3^{x+2} - 3$;

3) $16^x + 8^x - 4 \cdot 4^x + 2^x + 1 = 0$;

4) $3 \cdot 8^x + 4 \cdot 12^x - 18^x - 2 \cdot 27^x = 0$.

1) $8^x + 3 \cdot 4^x = 12 + 2^{x+2}$

Приведем все степени в уравнении к основанию 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$(2^3)^x + 3 \cdot (2^2)^x = 12 + 2^x \cdot 2^2$

$(2^x)^3 + 3 \cdot (2^x)^2 = 12 + 4 \cdot 2^x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^3 + 3t^2 = 12 + 4t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$t^3 + 3t^2 - 4t - 12 = 0$

Решим это уравнение методом группировки:

$t^2(t + 3) - 4(t + 3) = 0$

$(t^2 - 4)(t + 3) = 0$

$(t - 2)(t + 2)(t + 3) = 0$

Отсюда получаем три возможных значения для $t$: $t_1 = 2$, $t_2 = -2$, $t_3 = -3$.

Вспомним наше условие $t > 0$. Ему удовлетворяет только $t = 2$.

Теперь вернемся к замене:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

2) $3^{1+2x} - 9^x = 3^{x+2} - 3$

Приведем все степени к основанию 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$3^1 \cdot 3^{2x} - (3^2)^x = 3^x \cdot 3^2 - 3$

$3 \cdot (3^x)^2 - (3^x)^2 = 9 \cdot 3^x - 3$

$2 \cdot (3^x)^2 = 9 \cdot 3^x - 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Условие: $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$2t^2 = 9t - 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2t^2 - 9t + 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 81 - 24 = 57$

Корни уравнения для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{4}$

Оба корня, $t_1 = \frac{9 + \sqrt{57}}{4}$ и $t_2 = \frac{9 - \sqrt{57}}{4}$, положительны (поскольку $\sqrt{57} < \sqrt{81} = 9$), поэтому оба удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к замене:

Случай 1: $3^x = \frac{9 + \sqrt{57}}{4}$. Отсюда $x_1 = \log_3\left(\frac{9 + \sqrt{57}}{4}\right)$.

Случай 2: $3^x = \frac{9 - \sqrt{57}}{4}$. Отсюда $x_2 = \log_3\left(\frac{9 - \sqrt{57}}{4}\right)$.

Ответ: $x_1 = \log_3\left(\frac{9 + \sqrt{57}}{4}\right)$, $x_2 = \log_3\left(\frac{9 - \sqrt{57}}{4}\right)$.

3) $16^x + 8^x - 4 \cdot 4^x + 2^x + 1 = 0$

Приведем все степени к основанию 2: $16=2^4, 8=2^3, 4=2^2$.

$(2^4)^x + (2^3)^x - 4 \cdot (2^2)^x + 2^x + 1 = 0$

$(2^x)^4 + (2^x)^3 - 4 \cdot (2^x)^2 + 2^x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t^4 + t^3 - 4t^2 + t + 1 = 0$

Это симметрическое (возвратное) уравнение четвертой степени. Так как $t=0$ не является корнем, разделим обе части уравнения на $t^2$:

$t^2 + t - 4 + \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} = 0$

Сгруппируем члены:

$\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right) + \left(t + \frac{1}{t}\right) - 4 = 0$

Сделаем еще одну замену. Пусть $y = t + \frac{1}{t}$. Тогда $y^2 = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$, откуда $t^2 + \frac{1}{t^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 2) + y - 4 = 0$

$y^2 + y - 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 2$, $y_2 = -3$.

Вернемся к замене $y = t + \frac{1}{t}$:

Случай 1: $t + \frac{1}{t} = 2$. Умножим на $t$: $t^2 + 1 = 2t \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t=1$.

Случай 2: $t + \frac{1}{t} = -3$. Умножим на $t$: $t^2 + 1 = -3t \implies t^2 + 3t + 1 = 0$. Дискриминант $D=3^2-4=5$. Корни $t = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Оба корня отрицательны и не удовлетворяют условию $t>0$.

Единственный подходящий корень $t=1$.

Вернемся к исходной переменной:

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Ответ: $x=0$.

4) $3 \cdot 8^x + 4 \cdot 12^x - 18^x - 2 \cdot 27^x = 0$

Представим основания степеней в виде произведений простых чисел: $8=2^3$, $12=3 \cdot 2^2$, $18=2 \cdot 3^2$, $27=3^3$.

$3 \cdot (2^3)^x + 4 \cdot (3 \cdot 2^2)^x - (2 \cdot 3^2)^x - 2 \cdot (3^3)^x = 0$

$3 \cdot (2^x)^3 + 4 \cdot 3^x \cdot (2^x)^2 - 2^x \cdot (3^x)^2 - 2 \cdot (3^x)^3 = 0$

Это однородное уравнение третьей степени относительно $2^x$ и $3^x$. Так как $3^x \neq 0$, разделим обе части уравнения на $(3^x)^3$:

$3 \cdot \frac{(2^x)^3}{(3^x)^3} + 4 \cdot \frac{3^x \cdot (2^x)^2}{(3^x)^3} - \frac{2^x \cdot (3^x)^2}{(3^x)^3} - 2 \cdot \frac{(3^x)^3}{(3^x)^3} = 0$

$3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3x} + 4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, где $t > 0$.

$3t^3 + 4t^2 - t - 2 = 0$

Найдем корни этого кубического уравнения. Проверим делители свободного члена (-2), деленные на делители старшего коэффициента (3). Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}$.

Проверим $t = \frac{2}{3}$: $3\left(\frac{8}{27}\right) + 4\left(\frac{4}{9}\right) - \frac{2}{3} - 2 = \frac{8}{9} + \frac{16}{9} - \frac{6}{9} - \frac{18}{9} = \frac{24 - 24}{9} = 0$. Значит, $t = \frac{2}{3}$ является корнем.

Проверим $t = -1$: $3(-1)^3 + 4(-1)^2 - (-1) - 2 = -3 + 4 + 1 - 2 = 0$. Значит, $t=-1$ является корнем.

Разделим многочлен $(3t^3 + 4t^2 - t - 2)$ на $(t+1)$:

$(3t^3 + 4t^2 - t - 2) : (t+1) = 3t^2 + t - 2$.

Теперь решим квадратное уравнение $3t^2 + t - 2 = 0$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6}$.

$t_1 = \frac{-1+5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$t_2 = \frac{-1-5}{6} = -1$.

Корни для $t$: $\frac{2}{3}$ и $-1$ (кратный корень).

Учитывая условие $t > 0$, нам подходит только $t = \frac{2}{3}$.

Вернемся к замене:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$x=1$

Ответ: $x=1$.

23.14. 1) $5^x \cdot \sqrt[3]{8^{x-1}} = 500;$

2) $x^2 + 4x + 2^{\sqrt{x+2}} + 3 = 0;$

3) $\sqrt{4^{2x} - 3 \cdot 2^{2x}} = 10 - 2^{2x} + 1;$

4) $(\sqrt{3} - 2\sqrt{2})^x + (\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^x = 6;$

5) $(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^x - (\sqrt{7 - 4\sqrt{3}})^x = 14;$

6) $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^x + (\sqrt{2} + \sqrt{3})^x = 2.$

1) Исходное уравнение: $5^x \cdot \sqrt[3]{8^{x-1}} = 500$.

Преобразуем второй множитель, зная, что $8 = 2^3$:

$\sqrt[3]{8^{x-1}} = \sqrt[3]{(2^3)^{x-1}} = \sqrt[3]{2^{3(x-1)}} = 2^{x-1}$.

Уравнение принимает вид: $5^x \cdot 2^{x-1} = 500$.

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^{x-1} = \frac{2^x}{2^1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$.

Подставим в уравнение:

$5^x \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x = 500$.

Сгруппируем степени с одинаковым показателем, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\frac{1}{2} \cdot (5 \cdot 2)^x = 500$

$\frac{1}{2} \cdot 10^x = 500$.

Умножим обе части на 2:

$10^x = 1000$.

Так как $1000 = 10^3$, получаем:

$10^x = 10^3$.

Отсюда следует, что $x=3$.

Ответ: $3$.

2) Исходное уравнение: $x^2 + 4x + 2^{\sqrt{x+2}} + 3 = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.

Перегруппируем слагаемые в уравнении:

$(x^2 + 4x + 3) + 2^{\sqrt{x+2}} = 0$.

Рассмотрим каждую часть уравнения отдельно на ОДЗ.

Первая часть – квадратичная функция $f(x) = x^2 + 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх. Ее минимум находится в вершине $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$. Минимальное значение функции $f(x)$ равно $f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. На ОДЗ ($x \ge -2$) функция $f(x)$ не убывает, поэтому $f(x) \ge -1$.

Вторая часть – показательная функция $g(x) = 2^{\sqrt{x+2}}$. Так как $\sqrt{x+2} \ge 0$, то $g(x) = 2^{\sqrt{x+2}} \ge 2^0 = 1$.

Сумма левой части уравнения $(x^2 + 4x + 3) + 2^{\sqrt{x+2}} \ge -1 + 1 = 0$.

Равенство нулю возможно только в том случае, когда оба слагаемых одновременно достигают своих минимальных значений. Это происходит при $x=-2$.

Проверим, является ли $x=-2$ корнем уравнения:

$(-2)^2 + 4(-2) + 2^{\sqrt{-2+2}} + 3 = 4 - 8 + 2^{\sqrt{0}} + 3 = -4 + 2^0 + 3 = -4 + 1 + 3 = 0$.

$0=0$. Равенство верное. Таким образом, $x=-2$ является единственным решением.

Ответ: $-2$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt{4^{2x} - 3 \cdot 2^{2x}} = 10 - 2^{2x+1}$.

Преобразуем степени: $4^{2x} = (2^2)^{2x} = 2^{4x} = (2^{2x})^2$ и $2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{2x}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{2x}$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt{y^2 - 3y} = 10 - 2y$.

Это иррациональное уравнение, которое равносильно системе:

$\begin{cases} 10 - 2y \ge 0 \\ y^2 - 3y = (10 - 2y)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства: $10 \ge 2y \implies y \le 5$. Также, из-за наличия $y^2-3y$ под корнем, должно выполняться $y^2 - 3y \ge 0 \implies y(y-3) \ge 0$. Учитывая $y>0$, получаем $y \ge 3$. Итак, ОДЗ для $y$: $3 \le y \le 5$.

Решим второе уравнение системы:

$y^2 - 3y = 100 - 40y + 4y^2$

$3y^2 - 37y + 100 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-37)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1369 - 1200 = 169 = 13^2$.

Корни: $y_1 = \frac{37 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ $3 \le 4 \le 5$.

$y_2 = \frac{37 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$. Этот корень $8\frac{1}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ ($y \le 5$), поэтому является посторонним.

Единственное решение для $y$ – это $y=4$.

Сделаем обратную замену: $2^{2x} = 4 \implies 2^{2x} = 2^2 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.

Ответ: $1$.

4) Исходное уравнение: $(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}})^x + (\sqrt{3 + 2\sqrt{2}})^x = 6$.

Упростим выражения под корнями, используя формулу квадрата разности и суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$3 - 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} - 1)^2$.

$3 + 2\sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$.

Тогда $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$ (так как $\sqrt{2} > 1$).

И $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$.

Уравнение принимает вид: $(\sqrt{2}-1)^x + (\sqrt{2}+1)^x = 6$.

Заметим, что основания степеней являются взаимно обратными числами: $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1 = 1$. Следовательно, $\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

Сделаем замену: пусть $t = (\sqrt{2}+1)^x$. Так как $\sqrt{2}+1 > 0$, то $t > 0$. Тогда $(\sqrt{2}-1)^x = \frac{1}{t}$.

Уравнение для $t$: $\frac{1}{t} + t = 6 \implies t^2 - 6t + 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение. $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 32$, $\sqrt{D} = 4\sqrt{2}$.

Корни: $t = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$. Оба корня положительны.

Рассмотрим оба случая:

1. $t = 3 + 2\sqrt{2} \implies (\sqrt{2}+1)^x = 3 + 2\sqrt{2}$. Так как $3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$, то $(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^2$, откуда $x=2$.

2. $t = 3 - 2\sqrt{2} \implies (\sqrt{2}+1)^x = 3 - 2\sqrt{2}$. Так как $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}+1})^2 = (\sqrt{2}+1)^{-2}$, то $(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^{-2}$, откуда $x=-2$.

Ответ: $-2; 2$.

5) Исходное уравнение: $(\sqrt{7+4\sqrt{3}})^x - (\sqrt{7-4\sqrt{3}})^x = 14$.

Упростим выражения под корнями:

$7+4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

$7-4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2$.

Тогда $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}$ и $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$ (т.к. $2 > \sqrt{3}$).

Уравнение принимает вид: $(2+\sqrt{3})^x - (2-\sqrt{3})^x = 14$.

Основания $(2+\sqrt{3})$ и $(2-\sqrt{3})$ являются взаимно обратными. Сделаем замену: пусть $t = (2+\sqrt{3})^x$, где $t>0$. Тогда $(2-\sqrt{3})^x = \frac{1}{t}$.

Уравнение для $t$: $t - \frac{1}{t} = 14 \implies t^2 - 14t - 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение. $D = (-14)^2 - 4(1)(-1) = 196 + 4 = 200$, $\sqrt{D} = 10\sqrt{2}$.

Корни: $t = \frac{14 \pm 10\sqrt{2}}{2} = 7 \pm 5\sqrt{2}$.

Так как $t>0$, а $7-5\sqrt{2} = \sqrt{49}-\sqrt{50} < 0$, подходит только корень $t = 7 + 5\sqrt{2}$.

Обратная замена: $(2+\sqrt{3})^x = 7+5\sqrt{2}$.

Данное уравнение не имеет простого целочисленного или рационального решения. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы в исходном уравнении вместо знака "минус" стоял "плюс", задача имела бы "красивое" решение.

$(\sqrt{7+4\sqrt{3}})^x + (\sqrt{7-4\sqrt{3}})^x = 14 \implies (2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 14$.

Замена $t = (2+\sqrt{3})^x$ приводит к $t + \frac{1}{t} = 14 \implies t^2 - 14t + 1 = 0$.

$D = 14^2 - 4 = 192 = 64 \cdot 3$, $\sqrt{D}=8\sqrt{3}$.

$t = \frac{14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3}$.

1. $(2+\sqrt{3})^x = 7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2 \implies x=2$.

2. $(2+\sqrt{3})^x = 7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^{-2} \implies x=-2$.

Ответ: Если условие без опечаток, то $x = \log_{2+\sqrt{3}}(7+5\sqrt{2})$. Если в условии вместо минуса должен быть плюс, то $x = \pm 2$.

6) Исходное уравнение: $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 2$.

Упростим выражения под корнями с помощью формулы $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$.

Для $\sqrt{2+\sqrt{3}}$: $A=2, B=3$. $\sqrt{A^2-B} = \sqrt{2^2-3} = \sqrt{1} = 1$.

$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} + \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$.

Для $\sqrt{2-\sqrt{3}}$: $\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} - \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$.

Уравнение принимает вид: $(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}})^x + (\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}})^x = 2$.

Заметим, что основания являются взаимно обратными: $(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}) \cdot (\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}) = \frac{(\sqrt{3})^2-1^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{3-1}{2} = 1$.

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}})^x$. Тогда $t>0$ и уравнение принимает вид $\frac{1}{t} + t = 2$.

Умножим на $t$: $1+t^2=2t \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2=0$.

Отсюда $t=1$.

Выполняем обратную замену: $(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}})^x = 1$.

Так как основание степени $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} \neq 1$, равенство возможно только если показатель степени равен нулю. $x=0$.

Ответ: $0$.

23.15. 1) $9 \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{1 + \frac{1}{2}x} = \frac{1}{81^x};$

2) $2^{x-1} = 0.5^{1-x};$

3) $27^{x+2} = 81^{x^2-1};$

4) $(0.2)^{x+3} = \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1}.$

1)Исходное уравнение: $9 \cdot (\frac{1}{27})^{|1 + \frac{1}{2}x|} = \frac{1}{81^x}$.Приведем все части уравнения к основанию 3.$9 = 3^2$$\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$$\frac{1}{81^x} = (81^x)^{-1} = ((3^4)^x)^{-1} = 3^{-4x}$Подставим эти значения в уравнение:$3^2 \cdot (3^{-3})^{|1 + \frac{1}{2}x|} = 3^{-4x}$Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:$3^2 \cdot 3^{-3|1 + \frac{1}{2}x|} = 3^{-4x}$Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:$3^{2 - 3|1 + \frac{1}{2}x|} = 3^{-4x}$Теперь приравняем показатели степеней:$2 - 3|1 + \frac{1}{2}x| = -4x$Выразим модуль:$2 + 4x = 3|1 + \frac{1}{2}x|$Так как левая часть уравнения равна модулю, умноженному на положительное число, она должна быть неотрицательной: $2 + 4x \ge 0$, что означает $4x \ge -2$, или $x \ge -0.5$.Рассмотрим два случая раскрытия модуля.Случай 1: $1 + \frac{1}{2}x \ge 0$, то есть $x \ge -2$.$2 + 4x = 3(1 + \frac{1}{2}x)$$2 + 4x = 3 + \frac{3}{2}x$$4x - \frac{3}{2}x = 3 - 2$$\frac{5}{2}x = 1 \implies x = \frac{2}{5}$Проверяем условия: $x = 0.4$. Условие $x \ge -0.5$ выполнено. Условие $x \ge -2$ выполнено. Корень подходит.Случай 2: $1 + \frac{1}{2}x < 0$, то есть $x < -2$.$2 + 4x = -3(1 + \frac{1}{2}x)$$2 + 4x = -3 - \frac{3}{2}x$$4x + \frac{3}{2}x = -3 - 2$$\frac{11}{2}x = -5 \implies x = -\frac{10}{11}$Проверяем условие $x < -2$: $-\frac{10}{11} \approx -0.91$, что не меньше -2. Этот корень не удовлетворяет условию раскрытия модуля.Таким образом, у уравнения один корень.

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

2)Исходное уравнение: $2^{|x-1|} = 0.5^{1-x}$.Приведем правую часть к основанию 2.$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$Подставим это в уравнение:$2^{|x-1|} = (2^{-1})^{1-x}$$2^{|x-1|} = 2^{-1(1-x)}$$2^{|x-1|} = 2^{x-1}$Теперь приравняем показатели степеней:$|x-1| = x-1$Равенство $|a| = a$ верно тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.Следовательно, $x-1 \ge 0$.$x \ge 1$.

Ответ: $ [1; +\infty) $.

3)Исходное уравнение: $27^{|x+2|} = 81^{x^2-1}$.Приведем обе части уравнения к основанию 3.$27 = 3^3$$81 = 3^4$Подставим эти значения в уравнение:$(3^3)^{|x+2|} = (3^4)^{x^2-1}$$3^{3|x+2|} = 3^{4(x^2-1)}$Приравняем показатели степеней:$3|x+2| = 4(x^2-1)$Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $4(x^2-1) \ge 0 \implies x^2-1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0$. Это верно при $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.Рассмотрим два случая раскрытия модуля.Случай 1: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.$3(x+2) = 4(x^2-1)$$3x+6 = 4x^2-4$$4x^2-3x-10 = 0$Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.$x_1 = \frac{3+13}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.$x_2 = \frac{3-13}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25$.Проверяем корни. $x_1=2$: $2 \ge -2$ и $2 \in [1; +\infty)$, корень подходит.$x_2=-1.25$: $-1.25 \ge -2$ и $-1.25 \in (-\infty; -1]$, корень подходит.Случай 2: $x+2 < 0$, то есть $x < -2$.$3(-(x+2)) = 4(x^2-1)$$-3x-6 = 4x^2-4$$4x^2+3x+2 = 0$Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 9 - 32 = -23$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $ -\frac{5}{4}; 2 $.

4)Исходное уравнение: $(0.2)^{|x+3|} = (\frac{1}{5})^{x+1}$.Приведем обе части к одному основанию.$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.Уравнение принимает вид:$(\frac{1}{5})^{|x+3|} = (\frac{1}{5})^{x+1}$Приравняем показатели степеней:$|x+3| = x+1$Уравнение вида $|A|=B$ равносильно системе: $\begin{cases} B \ge 0 \\ A=B \text{ или } A=-B \end{cases}$.В нашем случае $B=x+1$, поэтому $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.Теперь решим два уравнения с учетом этого условия.1) $x+3 = x+1 \implies 3=1$. Это неверное равенство, решений нет.2) $x+3 = -(x+1) \implies x+3 = -x-1 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.Проверим полученный корень $x=-2$ на соответствие условию $x \ge -1$.$-2 \ge -1$ является ложным неравенством. Следовательно, корень $x=-2$ является посторонним.Таким образом, у уравнения нет решений.

Ответ: нет корней.