Страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите системы уравнений (23.16–23.17):

23.16. 1)

$ \begin{cases} \sqrt[x-1]{49} = \sqrt[y-1]{343}, \\ 3^y = 9^{2x-y}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 5 \cdot 3^{x-1} - 3 \cdot 2^y = -1, \\ 3^{x+1} + 5 \cdot 2^{y-1} = 14. \end{cases} $

1) Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - (x-1)\sqrt{49} = y - (y-1)\sqrt[3]{343} \\ 3^y = 9^{2x-y} \end{cases} $$

В первом уравнении выражения $(x-1)$ и $(y-1)$ расположены перед знаками корня, поэтому мы будем считать их множителями.

Упростим первое уравнение. Для этого вычислим значения корней: $\sqrt{49} = 7$ и $\sqrt[3]{343} = 7$.

$$ x - (x-1) \cdot 7 = y - (y-1) \cdot 7 $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ x - 7x + 7 = y - 7y + 7 $$

$$ -6x + 7 = -6y + 7 $$

Вычтем 7 из обеих частей уравнения, а затем разделим на -6:

$$ -6x = -6y $$

$$ x = y $$

Теперь упростим второе уравнение системы. Представим число 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

$$ 3^y = (3^2)^{2x-y} $$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$$ 3^y = 3^{2(2x-y)} $$

$$ 3^y = 3^{4x-2y} $$

Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$$ y = 4x - 2y $$

$$ 3y = 4x $$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x = y \\ 3y = 4x \end{cases} $$

Подставим $x=y$ во второе уравнение:

$$ 3y = 4y $$

$$ 4y - 3y = 0 $$

$$ y = 0 $$

Поскольку $x=y$, то $x$ также равен 0. Решение системы — $(0, 0)$.

Выполним проверку, подставив $x=0$ и $y=0$ в исходные уравнения.

Первое уравнение: $0 - (0-1)\sqrt{49} = 0 - (0-1)\sqrt[3]{343} \implies -(-1) \cdot 7 = -(-1) \cdot 7 \implies 7 = 7$. Верно.

Второе уравнение: $3^0 = 9^{2 \cdot 0 - 0} \implies 1 = 9^0 \implies 1 = 1$. Верно.

Ответ: $(0, 0)$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5 \cdot 3^{x-1} - 3 \cdot 2^y = -1 \\ 3^{x+1} + 5 \cdot 2^{y-1} = 14 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения, используя свойства степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$$ \begin{cases} 5 \cdot \frac{3^x}{3} - 3 \cdot 2^y = -1 \\ 3^x \cdot 3 + 5 \cdot \frac{2^y}{2} = 14 \end{cases} $$

Для упрощения системы введем новые переменные. Пусть $a = 3^x$ и $b = 2^y$. Так как показательные функции всегда положительны, $a > 0$ и $b > 0$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} \frac{5}{3}a - 3b = -1 \\ 3a + \frac{5}{2}b = 14 \end{cases} $$

Избавимся от дробей, умножив первое уравнение на 3, а второе на 2:

$$ \begin{cases} 5a - 9b = -3 \\ 6a + 5b = 28 \end{cases} $$

Решим полученную систему линейных уравнений методом исключения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 9, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 25a - 45b = -15 \\ 54a + 45b = 252 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$$ (25a - 45b) + (54a + 45b) = -15 + 252 $$

$$ 79a = 237 $$

$$ a = \frac{237}{79} = 3 $$

Теперь подставим значение $a=3$ в уравнение $5a - 9b = -3$, чтобы найти $b$:

$$ 5(3) - 9b = -3 $$

$$ 15 - 9b = -3 $$

$$ -9b = -18 $$

$$ b = 2 $$

Мы нашли значения $a=3$ и $b=2$. Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ 3^x = a \implies 3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1 $$

$$ 2^y = b \implies 2^y = 2 \implies 2^y = 2^1 \implies y = 1 $$

Решение системы — $(1, 1)$.

Выполним проверку, подставив $x=1$ и $y=1$ в исходные уравнения.

Первое уравнение: $5 \cdot 3^{1-1} - 3 \cdot 2^1 = 5 \cdot 3^0 - 3 \cdot 2 = 5 \cdot 1 - 6 = -1$. Верно.

Второе уравнение: $3^{1+1} + 5 \cdot 2^{1-1} = 3^2 + 5 \cdot 2^0 = 9 + 5 \cdot 1 = 14$. Верно.

Ответ: $(1, 1)$.

23.17. 1)

$$\begin{cases}3^{2x} - 2^y = 725, \\3^x - 2^{\frac{y}{2}} = 25;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}16^y - 4^x = 12, \\2^{x+1} - 4^y = 0.\end{cases}$$

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 3^{2x} - 2^y = 725, \\ 3^x - 2^{\frac{y}{2}} = 25.\end{cases}$

Заметим, что первое уравнение можно представить в виде разности квадратов. Используя свойства степеней $a^{mn} = (a^m)^n$ и $a^n = (a^{\frac{n}{2}})^2$, перепишем первое уравнение:

$3^{2x} = (3^x)^2$

$2^y = (2^{\frac{y}{2}})^2$

Тогда первое уравнение принимает вид:

$(3^x)^2 - (2^{\frac{y}{2}})^2 = 725$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(3^x - 2^{\frac{y}{2}})(3^x + 2^{\frac{y}{2}}) = 725$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $3^x - 2^{\frac{y}{2}} = 25$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$25 \cdot (3^x + 2^{\frac{y}{2}}) = 725$

Разделим обе части уравнения на 25:

$3^x + 2^{\frac{y}{2}} = \frac{725}{25} = 29$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\begin{cases} 3^x - 2^{\frac{y}{2}} = 25, \\ 3^x + 2^{\frac{y}{2}} = 29.\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(3^x - 2^{\frac{y}{2}}) + (3^x + 2^{\frac{y}{2}}) = 25 + 29$

$2 \cdot 3^x = 54$

$3^x = 27$

Поскольку $27 = 3^3$, получаем:

$3^x = 3^3$

$x = 3$

Теперь подставим значение $3^x = 27$ во второе уравнение новой системы $3^x + 2^{\frac{y}{2}} = 29$:

$27 + 2^{\frac{y}{2}} = 29$

$2^{\frac{y}{2}} = 2$

Поскольку $2 = 2^1$, получаем:

$2^{\frac{y}{2}} = 2^1$

$\frac{y}{2} = 1$

$y = 2$

Проверим найденное решение $(3; 2)$ в исходной системе.

Первое уравнение: $3^{2 \cdot 3} - 2^2 = 3^6 - 4 = 729 - 4 = 725$. Верно.

Второе уравнение: $3^3 - 2^{\frac{2}{2}} = 27 - 2^1 = 27 - 2 = 25$. Верно.

Ответ: $(3; 2)$.

2)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 16^y - 4^x = 12, \\ 2^{x+1} - 4^y = 0.\end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы:

$2^{x+1} - 4^y = 0$

$2^{x+1} = 4^y$

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Так как $4 = 2^2$, то $4^y = (2^2)^y = 2^{2y}$.

$2^{x+1} = 2^{2y}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x+1 = 2y$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 2y - 1$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы $16^y - 4^x = 12$:

$16^y - 4^{2y-1} = 12$

Используя свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{mn} = (a^m)^n$, преобразуем второе слагаемое:

$4^{2y-1} = \frac{4^{2y}}{4^1} = \frac{(4^2)^y}{4} = \frac{16^y}{4}$

Подставим это обратно в уравнение:

$16^y - \frac{16^y}{4} = 12$

Сделаем замену переменной. Пусть $a = 16^y$. Тогда уравнение примет вид:

$a - \frac{a}{4} = 12$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4a - a = 48$

$3a = 48$

$a = \frac{48}{3} = 16$

Вернемся к замене $a = 16^y$:

$16^y = 16$

$16^y = 16^1$

$y = 1$

Теперь найдем $x$, используя ранее выведенную зависимость $x = 2y - 1$:

$x = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$

Проверим найденное решение $(1; 1)$ в исходной системе.

Первое уравнение: $16^1 - 4^1 = 16 - 4 = 12$. Верно.

Второе уравнение: $2^{1+1} - 4^1 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Верно.

Ответ: $(1; 1)$.