Номер 23.17, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23.17. 1)

$$\begin{cases}3^{2x} - 2^y = 725, \\3^x - 2^{\frac{y}{2}} = 25;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}16^y - 4^x = 12, \\2^{x+1} - 4^y = 0.\end{cases}$$

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 3^{2x} - 2^y = 725, \\ 3^x - 2^{\frac{y}{2}} = 25.\end{cases}$

Заметим, что первое уравнение можно представить в виде разности квадратов. Используя свойства степеней $a^{mn} = (a^m)^n$ и $a^n = (a^{\frac{n}{2}})^2$, перепишем первое уравнение:

$3^{2x} = (3^x)^2$

$2^y = (2^{\frac{y}{2}})^2$

Тогда первое уравнение принимает вид:

$(3^x)^2 - (2^{\frac{y}{2}})^2 = 725$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(3^x - 2^{\frac{y}{2}})(3^x + 2^{\frac{y}{2}}) = 725$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $3^x - 2^{\frac{y}{2}} = 25$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$25 \cdot (3^x + 2^{\frac{y}{2}}) = 725$

Разделим обе части уравнения на 25:

$3^x + 2^{\frac{y}{2}} = \frac{725}{25} = 29$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\begin{cases} 3^x - 2^{\frac{y}{2}} = 25, \\ 3^x + 2^{\frac{y}{2}} = 29.\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(3^x - 2^{\frac{y}{2}}) + (3^x + 2^{\frac{y}{2}}) = 25 + 29$

$2 \cdot 3^x = 54$

$3^x = 27$

Поскольку $27 = 3^3$, получаем:

$3^x = 3^3$

$x = 3$

Теперь подставим значение $3^x = 27$ во второе уравнение новой системы $3^x + 2^{\frac{y}{2}} = 29$:

$27 + 2^{\frac{y}{2}} = 29$

$2^{\frac{y}{2}} = 2$

Поскольку $2 = 2^1$, получаем:

$2^{\frac{y}{2}} = 2^1$

$\frac{y}{2} = 1$

$y = 2$

Проверим найденное решение $(3; 2)$ в исходной системе.

Первое уравнение: $3^{2 \cdot 3} - 2^2 = 3^6 - 4 = 729 - 4 = 725$. Верно.

Второе уравнение: $3^3 - 2^{\frac{2}{2}} = 27 - 2^1 = 27 - 2 = 25$. Верно.

Ответ: $(3; 2)$.

2)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 16^y - 4^x = 12, \\ 2^{x+1} - 4^y = 0.\end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы:

$2^{x+1} - 4^y = 0$

$2^{x+1} = 4^y$

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Так как $4 = 2^2$, то $4^y = (2^2)^y = 2^{2y}$.

$2^{x+1} = 2^{2y}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x+1 = 2y$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 2y - 1$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы $16^y - 4^x = 12$:

$16^y - 4^{2y-1} = 12$

Используя свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{mn} = (a^m)^n$, преобразуем второе слагаемое:

$4^{2y-1} = \frac{4^{2y}}{4^1} = \frac{(4^2)^y}{4} = \frac{16^y}{4}$

Подставим это обратно в уравнение:

$16^y - \frac{16^y}{4} = 12$

Сделаем замену переменной. Пусть $a = 16^y$. Тогда уравнение примет вид:

$a - \frac{a}{4} = 12$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4a - a = 48$

$3a = 48$

$a = \frac{48}{3} = 16$

Вернемся к замене $a = 16^y$:

$16^y = 16$

$16^y = 16^1$

$y = 1$

Теперь найдем $x$, используя ранее выведенную зависимость $x = 2y - 1$:

$x = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$

Проверим найденное решение $(1; 1)$ в исходной системе.

Первое уравнение: $16^1 - 4^1 = 16 - 4 = 12$. Верно.

Второе уравнение: $2^{1+1} - 4^1 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Верно.

Ответ: $(1; 1)$.